Работа, энергия и мощность
Уровень: База
Энергетический метод связывает состояния системы и часто позволяет не вычислять силы и ускорения на каждом участке.
Что надо понять
- Работа зависит от силы, перемещения и угла.
- Работа равнодействующей меняет кинетическую энергию.
- Потенциальная энергия вводится для консервативных сил.
- Механическая энергия сохраняется только при отсутствии неконсервативной работы.
Основные формулы
1. Работа силы
\[
A=Fs\cos\alpha
\]
При \(\alpha=90^\circ\) работа равна нулю.
2. Кинетическая энергия
\[
E_k=\frac{mv^2}{2},\qquad A_{\Sigma F}=\Delta E_k
\]
Теорема работает и при наличии трения.
3. Потенциальная энергия
\[
E_{p,g}=mgh,\qquad E_{p,\text{пруж}}=\frac{kx^2}{2}
\]
Нулевой уровень выбирается произвольно.
4. Сохранение энергии
\[
E_k+E_p=\mathrm{const}
\]
Требуются консервативные силы.
5. Мощность
\[
P=\frac{A}{t},\qquad P=\vec F\cdot\vec v
\]
Мощность — скорость совершения работы.
Разобранные задачи
Задача 1. Падение
Условие. Тело падает с высоты \(20\) м без сопротивления.
Решение.
\[
mgh=\frac{mv^2}{2},
\]
\[
v=\sqrt{2gh}\approx19{,}8\,\text{м/с}.
\]
Ответ: \(19{,}8\) м/с.
Задача 2. Работа трения
Условие. Брусок \(2\) кг движется \(6\) м/с и останавливается.
Решение.
\[
A_{\text{тр}}=\Delta E_k=0-\frac{mv^2}{2}=-36\,\text{Дж}.
\]
Ответ: \(-36\) Дж.
Задача 3. Мощность
Условие. Подъёмник поднимает \(500\) кг со скоростью \(0{,}4\) м/с, \(g=10\).
Решение.
\[
P=mgv=500\cdot10\cdot0{,}4=2000\,\text{Вт}.
\]
Ответ: \(2\) кВт.
Алгоритм решения
- Выбрать систему и два состояния.
- Отметить неконсервативные силы.
- Выбрать энергетическое уравнение.
- Решить символически.
- Проверить знак работы.
Частые ошибки
- Считать, что механическая энергия сохраняется всегда.
- Забывать косинус угла.
- Путать работу отдельной силы и равнодействующей.
- Использовать \(mgh\) без разности высот.
Задачи для самопроверки
- Сила \(10\) Н, путь \(3\) м, угол \(60^\circ\). Работа?
Ответ
\(15\) Дж.- Пружина \(200\) Н/м сжата на \(0{,}1\) м. Энергия?
Ответ
\(1\) Дж.- Мощность \(600\) Вт действует \(20\) с. Работа?
Ответ
\(12\) кДж.Связи с другими темами
Краткий итог
Энергетический метод связывает состояния системы и часто позволяет не вычислять силы и ускорения на каждом участке.