Шпаргалки / Физика / Релятивистская физика

Специальная теория относительности (СТО)

Уровень: База → вуз

СТО описывает пространство и время в инерциальных системах при скоростях, сравнимых со скоростью света.

Что надо понять

  • Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах.
  • Скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных наблюдателей.
  • Одновременность зависит от системы отсчёта.
  • Инвариантный интервал объединяет пространство и время.

Основные формулы

1. Фактор Лоренца

\[ \gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

При \(v\ll c\) получаем \(\gamma\approx1\).

2. Замедление времени

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau \]

\(\Delta\tau\) — собственное время часов.

3. Сокращение длины

\[ L=\frac{L_0}{\gamma} \]

\(L_0\) — собственная длина объекта.

4. Сложение скоростей

\[ u'=\frac{u-v}{1-uv/c^2} \]

Результат не превышает \(c\).

5. Интервал

\[ s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2 \]

Инвариантен при преобразованиях Лоренца.

6. Энергия и импульс

\[ E=\gamma mc^2,\qquad \vec p=\gamma m\vec v,\qquad E^2=p^2c^2+m^2c^4 \]

Энергия покоя равна \(mc^2\).

Разобранные задачи

Задача 1. Фактор Лоренца

Условие. Корабль движется со скоростью \(0{,}8c\).

Решение.

\[ \gamma=\frac1{\sqrt{1-0{,}8^2}} =\frac1{0{,}6}\approx1{,}667. \]

Ответ: \(\gamma\approx1{,}667\).

Задача 2. Замедление времени

Условие. На корабле прошло \(6\) лет при скорости \(0{,}8c\).

Решение.

Собственное время \(\Delta\tau=6\) лет:

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau =1{,}667\cdot6\approx10\,\text{лет}. \]

Ответ: на Земле прошло около \(10\) лет.

Задача 3. Сокращение длины

Условие. Собственная длина корабля \(120\) м, скорость \(0{,}8c\).

Решение.

\[ L=\frac{120}{1{,}667}\approx72\,\text{м}. \]

Ответ: \(72\) м.

Задача 4. Сложение скоростей

Условие. Корабль летит \(0{,}8c\), из него вперёд запускают объект со скоростью \(0{,}7c\) относительно корабля.

Решение.

Скорость относительно Земли:

\[ u=\frac{0{,}7c+0{,}8c}{1+0{,}7\cdot0{,}8} =\frac{1{,}5}{1{,}56}c \approx0{,}962c. \]

Ответ: \(0{,}962c\), а не \(1{,}5c\).

Алгоритм решения

  1. Определить две системы отсчёта.
  2. Найти собственную величину: время или длину.
  3. Вычислить \(\gamma\).
  4. Применить преобразование Лоренца или инвариант.
  5. Проверить классический предел при \(v\ll c\).

Частые ошибки

  • Складывать релятивистские скорости по Галилею.
  • Путать собственное и координатное время.
  • Считать массу обязательной функцией скорости вместо использования энергии и импульса.
  • Применять сокращение длины поперёк движения.

Задачи для самопроверки

  1. Чему равен \(\gamma\) при \(v=0\)?
Ответ\(1\).
  1. Может ли массивное тело достичь \(c\)?
ОтветНет, потребовалась бы бесконечная энергия.
  1. Что инвариантно в СТО?
ОтветПространственно-временной интервал.

Связи с другими темами

Краткий итог

СТО описывает пространство и время в инерциальных системах при скоростях, сравнимых со скоростью света.