Шпаргалки / Физика / Электродинамика

05. Электрический ток и сопротивление

Электрический ток и сопротивление

Уровень: база → первый курс

Электрический ток

Ток — упорядоченное движение электрического заряда.

\[ I=\frac{dq}{dt}. \]

Условное направление тока совпадает с движением положительных зарядов. В металлах электроны дрейфуют противоположно току.

Плотность тока

\[ \vec J=nq\vec v_d. \]

Для однородного тока через площадь:

\[ I=JS. \]

Общая форма:

\[ I=\int_S\vec J\cdot d\vec S. \]

Скорость дрейфа

Она обычно мала, хотя сигнал в цепи распространяется быстро как электромагнитное возмущение поля.

\[ v_d=\frac{I}{nqS}. \]

Лампа загорается не потому, что конкретный электрон от выключателя мгновенно добежал до нити.

Закон Ома

Для омического участка:

\[ U=IR. \]

В локальной форме:

\[ \vec J=\sigma\vec E. \]
\[ \rho_e=\frac1\sigma \]

— удельное сопротивление, не путать с плотностью массы.

Сопротивление проводника

\[ R=\rho_e\frac lS. \]

Применимо к однородному проводнику постоянного сечения.

Температурная зависимость металла

В ограниченном диапазоне:

\[ R=R_0[1+\alpha(T-T_0)]. \]

Для металлов \(\alpha\) обычно положителен.

Полупроводники часто имеют сопротивление, уменьшающееся с температурой из-за роста числа носителей.

ЭДС

Электродвижущая сила источника:

\[ \mathcal E=\frac{A_{\text{сторон}}}{q}. \]

Это энергия, сообщаемая единичному заряду неэлектростатическими силами внутри источника.

ЭДС измеряется в вольтах, но не является обычной силой.

Полная цепь

Источник с внутренним сопротивлением \(r\) и нагрузкой \(R\):

\[ I=\frac{\mathcal E}{R+r}. \]

Напряжение на клеммах при разряде:

\[ U=IR=\mathcal E-Ir. \]

При холостом ходе \(I=0\):

\[ U=\mathcal E. \]

Мощность и закон Джоуля—Ленца

\[ P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}. \]

Теплота:

\[ Q=I^2Rt. \]

Формы мощности нельзя применять без учёта того, какая величина действительно постоянна.

Согласование нагрузки

Мощность на нагрузке:

\[ P_R=I^2R =\frac{\mathcal E^2R}{(R+r)^2}. \]

Она максимальна при

\[ R=r. \]

Но КПД тогда только \(50\%\), поэтому энергетические системы обычно не работают в режиме максимальной мощности.

Пример 1. Резистор

\(R=6\) Ом, \(U=12\) В:

\[ I=2\ \text{А}. \]
\[ P=24\ \text{Вт}. \]

Пример 2. Источник

\(\mathcal E=12\) В, \(r=1\) Ом, \(R=5\) Ом:

\[ I=2\ \text{А}, \]
\[ U=10\ \text{В}. \]

Внутри источника теряется:

\[ P_r=I^2r=4\ \text{Вт}. \]

Пример 3. Дрейф

\(I=1\) А, медный провод \(S=1\) мм², \(n\approx8{,}5\cdot10^{28}\) м\(^{-3}\):

\[ v_d=\frac{1}{8{,}5\cdot10^{28}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot10^{-6}} \approx7{,}4\cdot10^{-5}\ \text{м/с}. \]

Это около \(0{,}074\) мм/с.

Ошибки

  • Считать ЭДС силой в ньютонах.
  • Путать скорость электронов и скорость распространения сигнала.
  • Применять закон Ома к нелинейному элементу без проверки.
  • Считать напряжение на клеммах всегда равным ЭДС.

Самопроверка

  1. В какую сторону движутся электроны в металлическом проводе относительно тока?
  2. Что происходит с напряжением источника под нагрузкой?
  3. Почему тонкий провод имеет большее сопротивление?
Ответы 1. Против направления условного тока. 2. Обычно уменьшается на \(Ir\). 3. Меньше площадь для переноса заряда: \(R\propto1/S\).