Важные теоремы
1. Теоремы о треугольнике
- Теорема Пифагора:
Для прямоугольного треугольника
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
- $a, b$ — катеты
-
$c$ — гипотенуза
-
Обратная теорема Пифагора:
Если $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник прямоугольный - Сумма углов треугольника:
\[
\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
\]
- Теорема синусов:
\[
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R
\]
-
$R$ — радиус описанной окружности
-
Теорема косинусов:
\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma
\]
- Медиана треугольника:
Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
Медиана $m_a$ к стороне $a$:
\[
m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}
\]
- Биссектриса треугольника:
Отрезок, делящий угол пополам.
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
- Площадь треугольника через стороны и радиусы:
\[
S = p \cdot r = \frac{abc}{4R} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]
- $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр
- $r$ — радиус вписанной окружности
-
$R$ — радиус описанной окружности
-
Теорема Фалеса:
Если параллельные прямые пересекают стороны угла, делят стороны на пропорциональные отрезки - Средняя линия треугольника:
Отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине:
\[
m = \frac{a}{2}
\]
- Чевиана:
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Три чевианы пересекаются в одной точке, если:
\[
\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1
\]
- Теорема Менелая:
Прямая, пересекающая стороны треугольника или их продолжения, делит стороны в отношении:
\[
\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1
\]
2. Теоремы о многоугольниках
- Сумма углов n-угольника:
\[
\sum \text{углов} = (n-2) \cdot 180^\circ
\]
- Регулярный n-угольник через апофему $a$ и периметр $P$:
\[
S = \frac{1}{2} P \cdot a
\]
- Через радиус описанной окружности $R$:
\[
S = \frac{n R^2 \sin \frac{2\pi}{n}}{2}
\]
- Апофема:
Перпендикуляр от центра правильного многоугольника к стороне.
3. Теоремы о кругах
- Центральный угол и вписанный угол:
Угол в центре в 2 раза больше вписанного угла:
\[
\text{угол в центре} = 2 \cdot \text{вписанный угол}
\]
- Теорема Птолемея (для вписанного четырёхугольника):
\[
AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC
\]
- Теорема о касательной и секущей:
\[
PT^2 = PA \cdot PB
\]
- $PT$ — касательная
- $PA, PB$ — отрезки секущей
4. Теоремы стереометрии
- Параллелепипед:
Объём через векторы:
\[
V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|
\]
- Пирамида:
Объём:
\[
V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h
\]
- Конус:
\[
V = \frac{1}{3} \pi R^2 h
\]
- Цилиндр:
\[
V = \pi R^2 h
\]
- Сфера:
\[
V = \frac{4}{3} \pi R^3, \quad S = 4 \pi R^2
\]
- Теорема Эйлера для многогранников:
\[
V - E + F = 2
\]
- $V$ — число вершин
- $E$ — число рёбер
- $F$ — число граней
5. Векторы и координаты
- Площадь треугольника через векторы:
\[
S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|
\]
- Площадь многоугольника через координаты:
\[
S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|
\]
- $x_{n+1} = x_1, y_{n+1} = y_1$
6. Полезные термины и символы
| Символ / термин | Определение |
|---|---|
| $a,b,c$ | стороны треугольника |
| $\alpha, \beta, \gamma$ | углы треугольника |
| $R$ | радиус описанной окружности / круга |
| $r$ | радиус вписанной окружности / внутреннего круга |
| $h$ | высота фигуры |
| $V$ | объём |
| $S$ | площадь |
| $\vec{AB}, \vec{AC}$ | векторы сторон треугольника |
| $n$ | число сторон многоугольника |
| $P$ | периметр многоугольника |
| $E, F$ | рёбра и грани многогранника |
| Медиана | Отрезок от вершины к середине противоположной стороны |
| Биссектриса | Отрезок, делящий угол пополам |
| Чевиана | Отрезок от вершины треугольника к точке на противоположной стороне |
| Апофема | Перпендикуляр от центра правильного многоугольника к стороне |
| Касательная | Прямая, касающаяся окружности в одной точке |
| Секущая | Прямая, пересекающая окружность в двух точках |