Коэффициенты подобия и размерности
1. Суть
Если две фигуры подобны, то все их линейные размеры (длина, радиус, высота и т. д.) относятся по одному и тому же коэффициенту подобия k:
\[
\frac{R_1}{R_2} = k
\]
2. Как это масштабируется
| Величина | Размерность | Как масштабируется | Пример |
|---|---|---|---|
| Длина / радиус / сторона | 1-мерная | $k^1$ | $R_1 = k R_2$ |
| Площадь | 2-мерная | $k^2$ | $S_1 = k^2 S_2$ |
| Объём | 3-мерная | $k^3$ | $V_1 = k^3 V_2$ |
3. Ключевая фраза
Каждая размерность — это степень коэффициента подобия.
Увеличил в $k$ раз — площадь выросла в $k^2$, объём в $k^3$.
4. Пример из задачи
Площадь центрального сечения $S$ в 9 раз больше:
\[
\frac{S_1}{S_2} = 9 = k^2 \Rightarrow k = 3
\]
Тогда:
\[
\frac{V_1}{V_2} = k^3 = 3^3 = 27
\]
5. На пальцах
- 1-мерное → линейно
- 2-мерное → квадратно
- 3-мерное → кубически
линия — квадрат — куб → 1 — 2 — 3
Степень = размерность.