Шпаргалки / Физика / 01. Основы физики

11. Размерностный анализ и оценки порядка

Размерностный анализ и оценки порядка

Уровень: база → вуз

Зачем оценивать до точного расчёта

Оценка порядка величины позволяет понять, не получился ли у человека радиус атома в три километра. Калькулятор честно вычисляет и бессмысленные выражения, потому что у него нет чувства стыда.

Порядок величины

Число представляют как

\[ a\cdot10^n, \]

где \(1\le a<10\). Порядок величины примерно \(10^n\).

Например:

\[ c\approx3\cdot10^8\ \text{м/с}. \]

Порядок — \(10^8\) м/с.

Проверка размерности

Если предполагается

\[ T\sim\sqrt{\frac{l}{g}}, \]

то

\[ \left[\sqrt{\frac{l}{g}}\right] = \sqrt{\frac{L}{LT^{-2}}}=T. \]

Размерность периода получилась правильной.

Размерностный анализ не определяет безразмерный коэффициент \(2\pi\).

Построение формулы по размерностям

Пусть период маятника зависит от длины \(l\), массы \(m\) и ускорения \(g\):

\[ T\propto l^a m^b g^c. \]

Размерности:

\[ T=L^aM^b(LT^{-2})^c. \]

Сравнивая показатели:

\[ b=0, \]
\[ a+c=0, \]
\[ -2c=1. \]

Отсюда

\[ c=-\frac12, \]
\[ a=\frac12. \]

Поэтому

\[ T\propto\sqrt{\frac{l}{g}}. \]

Оценка Ферми

Сложную величину оценивают через простые допущения.

Пример: сколько вдохов делает человек за год?

  • около 12 вдохов в минуту;
  • \(60\) минут в час;
  • \(24\) часа;
  • \(365\) дней.
\[ N\sim12\cdot60\cdot24\cdot365\approx6\cdot10^6. \]

Порядок — несколько миллионов.

Предельные случаи

Формула должна вести себя разумно.

Для

\[ a=\frac{F}{m} \]

при \(F\to0\) ускорение должно стремиться к нулю, а при \(m\to\infty\) — тоже к нулю.

Для сопротивлений параллельно результирующее сопротивление должно быть меньше каждого отдельного.

Безразмерные числа

Они сравнивают конкурирующие эффекты:

  • число Рейнольдса: инерция против вязкости;
  • число Маха: скорость потока против скорости звука;
  • фактор Лоренца: релятивистская важность скорости;
  • относительная погрешность: ошибка против значения.

Самопроверка

  1. Может ли период зависеть линейно от массы, если размерность массы больше нигде не компенсируется?
  2. Каков порядок числа секунд в году?
  3. Как проверить формулу для параллельного соединения предельным случаем \(R_2\to\infty\)?
Ответы 1. Нет. 2. \(10^7\) с. 3. Должно получиться \(R_\Sigma\to R_1\).