Шпаргалки / Физика / Электродинамика

Электромагнитные колебания и волны

Уровень: База → вуз

В LC-контуре энергия переходит между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки. Переменные поля могут распространяться как электромагнитная волна.

Что надо понять

  • Идеальный LC-контур является электромагнитным осциллятором.
  • Заряд и ток сдвинуты по фазе на четверть периода.
  • Электромагнитная волна поперечна.
  • В вакууме все электромагнитные волны распространяются со скоростью света.

Основные формулы

1. Период Томсона

\[ T=2\pi\sqrt{LC},\qquad f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Сопротивлением в идеальной формуле пренебрегают.

2. Энергия LC

\[ \frac{q^2}{2C}+\frac{LI^2}{2}=\mathrm{const} \]

В крайних значениях заряда ток равен нулю.

3. Скорость света

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

Уравнения Максвелла предсказывают электромагнитные волны.

4. Связь волны

\[ c=\lambda f \]

В среде скорость меньше и равна \(v=c/n\).

5. Интенсивность

\[ I=\langle S\rangle,\qquad \vec S=\frac{1}{\mu_0}\vec E\times\vec B \]

Вектор Пойнтинга задаёт поток энергии.

График или схема

Заряд и ток в LC-контуре

Разобранные задачи

Задача 1. Период контура

Условие. \(L=10\) мГн, \(C=1\) мкФ.

Решение.

Переводим:

\[ L=10^{-2}\,\text{Гн},\qquad C=10^{-6}\,\text{Ф}. \]
\[ T=2\pi\sqrt{10^{-2}\cdot10^{-6}} =2\pi\cdot10^{-4}\approx6{,}28\cdot10^{-4}\,\text{с}. \]

Ответ: \(0{,}628\) мс.

Задача 2. Радиоволна

Условие. Частота \(100\) МГц. Найти длину в вакууме.

Решение.

\[ \lambda=\frac{c}{f} =\frac{3\cdot10^8}{100\cdot10^6}=3\,\text{м}. \]

Ответ: \(3\) м.

Задача 3. Максимальный ток

Условие. Конденсатор \(C=4\) мкФ заряжен до \(100\) В и подключён к катушке \(L=0{,}25\) Гн.

Решение.

При максимальном токе:

\[ \frac{CU^2}{2}=\frac{LI_{\max}^2}{2}. \]
\[ I_{\max}=U\sqrt{\frac{C}{L}} =100\sqrt{\frac{4\cdot10^{-6}}{0{,}25}} =0{,}4\,\text{А}. \]

Ответ: \(0{,}4\) А.

Алгоритм решения

  1. Определить параметры \(L\), \(C\) и потери.
  2. Для идеального контура использовать Томсона.
  3. Для энергии выбрать момент максимального заряда или тока.
  4. Для волны связать скорость, частоту и длину.
  5. В среде учитывать показатель преломления.

Частые ошибки

  • Путать механическую частоту с угловой.
  • Считать заряд и ток синфазными.
  • Использовать \(c\) в среде без деления на \(n\).
  • Считать электрическое и магнитное поля направленными вдоль распространения.

Задачи для самопроверки

  1. Как изменится период при увеличении \(C\) в 4 раза?
ОтветУвеличится в 2 раза.
  1. Частота света меняется при переходе в стекло?
ОтветНет.
  1. Что переносит электромагнитная волна?
ОтветЭнергию и импульс.

Связи с другими темами

Краткий итог

В LC-контуре энергия переходит между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки. Переменные поля могут распространяться как электромагнитная волна.