Домножение на сопряжённое
Выражение, которое при умножении на исходное даёт разность квадратов.
\[
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
\]
То же самое выражение, но со сменой знака у второго члена $a + b\sqrt{c} \rightarrow a - b\sqrt{c}$.
Домножение на сопряженное — это умножение на 1, поэтому значение выражения не меняется, только его форма!
Алгоритм
- Найти неудобную часть выражения.
- Определить сопряженное (поменять знак).
- Умножить числитель и знаменатель.
- Упростить по формуле разности квадратов.
- Сократить, если возможно.
Примеры
1. Избавление от иррационального знаменателя
\[
\frac{1}{\sqrt{2}+1}
\]
Домножаем на сопряжённое:
\[
\frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
= \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}
= \frac{\sqrt{2}-1}{2-1}
= \sqrt{2}-1
\]
2. Комплексные числа
\[
\frac{1}{a+bi} \cdot \frac{a-bi}{a-bi}
= \frac{a-bi}{a^2+b^2}
\]
2. Вычисление предела
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}
\]
Если подставить $x=0$, выходит неопределённость $\tfrac{0}{0}$.
Домножаем на сопряжённое:
\[
\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x} + 1}{\sqrt{1+x} + 1}
= \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x}+1)}
= \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}.
\]
Сокращаем (x):
\[
\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}
\]
Теперь подставляем $x=0$:
\[
\frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{2}.
\]
Для чего применяется
- Рационализация знаменателя.
- Деление комплексных чисел.
- Упрощение выражений.
- Для оценки числа, тк обеспечивает более точные и удобные для ручных вычислений формы чисел (легче считать в уме или на бумаге).