Шпаргалки / Физика / Механика

17. Статика и устойчивость

Статика и устойчивость

Уровень: база → первый курс

Равновесие материальной точки

\[ \sum\vec F=0. \]

Для точки этого достаточно.

Равновесие твёрдого тела

Нужно исключить и поступательное, и вращательное ускорение:

\[ \sum\vec F=0, \]
\[ \sum\vec\tau_O=0. \]

Моменты можно считать относительно любой точки \(O\), если сумма сил равна нулю.

Плечо силы

Плечо — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.

\[ \tau=Fl. \]

Типы опор в плоской задаче

  • гладкая поверхность: одна реакция по нормали;
  • нить: натяжение вдоль нити;
  • шарнир: две компоненты реакции;
  • жёсткая заделка: две силы и реактивный момент.

Центр масс и центр тяжести

В однородном поле тяжести центр тяжести совпадает с центром масс.

\[ \vec r_C=\frac{\int\vec r\,dm}{M}. \]

Устойчивость

Тело на горизонтальной опоре устойчиво, пока вертикальная линия через центр масс проходит внутри площади опоры.

На границе опрокидывания линия проходит через край.

Виды равновесия по энергии

  • устойчивое: минимум \(U\);
  • неустойчивое: максимум \(U\);
  • безразличное: \(U\) не меняется при малом смещении.

Пример 1. Балка

Балка длиной \(4\) м, массой \(20\) кг, опирается по краям. Груз \(40\) кг стоит в \(1\) м от левой опоры, \(g=10\).

Моменты относительно левой опоры:

\[ R_B\cdot4-200\cdot2-400\cdot1=0. \]
\[ R_B=200\ \text{Н}. \]

Баланс сил:

\[ R_A+R_B=600. \]
\[ R_A=400\ \text{Н}. \]

Пример 2. Лестница

Однородная лестница длины \(L\) опирается на гладкую стену и шероховатый пол.

Силы:

  • вес \(mg\) в центре;
  • реакция стены горизонтально;
  • нормальная реакция пола вертикально;
  • трение пола горизонтально.

Уравнения:

\[ \sum F_x=0, \]
\[ \sum F_y=0, \]
\[ \sum\tau=0. \]

Условие отсутствия скольжения:

\[ F_{\text{тр}}\le\mu_sN. \]

Пример 3. Опрокидывание ящика

Ширина основания \(b\), высота приложения горизонтальной силы \(h\), вес \(mg\).

На границе опрокидывания относительно края:

\[ Fh=mg\frac b2. \]
\[ F_{\text{опр}}=\frac{mgb}{2h}. \]

Но сначала может начаться скольжение при

\[ F_{\text{ск}}=\mu_smg. \]

Сравнивают два порога.

Фермы и балки: вузовское продолжение

В сопротивлении материалов появляются:

  • распределённая нагрузка \(q(x)\);
  • поперечная сила \(Q(x)\);
  • изгибающий момент \(M(x)\);
  • напряжения и деформации.

Связи:

\[ \frac{dQ}{dx}=-q(x), \]
\[ \frac{dM}{dx}=Q(x). \]

Ошибки

  • Использовать только сумму сил для твёрдого тела.
  • Брать расстояние до точки вместо плеча.
  • Забывать собственный вес конструкции.
  • Не сравнивать опрокидывание и скольжение.

Самопроверка

  1. Почему удобно брать моменты относительно шарнира?
  2. Какой энергетический признак устойчивого равновесия?
  3. Что происходит с реакцией опоры на границе опрокидывания?
Ответы 1. Его реакция имеет нулевое плечо. 2. Минимум потенциальной энергии. 3. Результирующая реакция смещается к краю опоры.