Шпаргалки / Физика / Электродинамика

11. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны

Уравнения Максвелла и электромагнитные волны

Уровень: вуз

Картина целиком

Уравнения Максвелла связывают:

  • заряды;
  • токи;
  • электрическое поле;
  • магнитное поле;
  • электромагнитную индукцию;
  • электромагнитные волны.

Они являются фундаментальной классической теорией электромагнитного поля.

Дифференциальная форма в вакууме с источниками

Гаусс для электрического поля

\[ \nabla\cdot\vec E=\frac\rho{\varepsilon_0}. \]

Заряды — источники и стоки \(\vec E\).

Гаусс для магнитного поля

\[ \nabla\cdot\vec B=0. \]

Магнитных монополей в классической наблюдаемой теории нет.

Фарадей

\[ \nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}. \]

Переменное магнитное поле создаёт вихревое электрическое.

Ампер—Максвелл

\[ \nabla\times\vec B =\mu_0\vec J+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}. \]

Ток и переменное электрическое поле создают вихревое магнитное.

Интегральная форма

\[ \oint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\text{внутр}}}{\varepsilon_0}, \]
\[ \oint_S\vec B\cdot d\vec S=0, \]
\[ \oint_C\vec E\cdot d\vec l=-\frac{d\Phi_B}{dt}, \]
\[ \oint_C\vec B\cdot d\vec l =\mu_0I+ \mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}. \]

Зачем нужен ток смещения

В заряжающемся конденсаторе проводимый ток обрывается в зазоре, но электрический поток меняется.

\[ I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}. \]

Он обеспечивает согласованность закона Ампера с сохранением заряда и позволяет существовать волнам.

Волновое уравнение

В вакууме без источников:

\[ \nabla\cdot\vec E=0, \]
\[ \nabla\cdot\vec B=0. \]

Из роторов следует:

\[ \nabla^2\vec E - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=0. \]

Аналогично для \(\vec B\).

Скорость:

\[ c=\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}. \]

Совпадение со скоростью света показало электромагнитную природу света.

Плоская волна

В вакууме:

  • \(\vec E\perp\vec B\);
  • оба поля перпендикулярны направлению распространения;
  • поля синфазны;
  • \(E=cB\).

Пример:

\[ \vec E=E_0\cos(kz-\omega t)\vec e_x, \]
\[ \vec B=\frac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)\vec e_y. \]
\[ \omega=ck. \]

Энергия и импульс

Плотность энергии:

\[ u=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}. \]

Вектор Пойнтинга:

\[ \vec S=\frac1{\mu_0}\vec E\times\vec B. \]

Он задаёт плотность потока энергии.

Средняя интенсивность гармонической плоской волны:

\[ I=\frac12c\varepsilon_0E_0^2. \]

Давление излучения:

  • полное поглощение: \(p=I/c\);
  • идеальное отражение: \(p=2I/c\).

Спектр

Радиоволны, микроволны, ИК, видимый свет, УФ, рентген и гамма-излучение — один тип поля, различающийся частотой и происхождением.

\[ c=\lambda f. \]

Граничные условия

На границе сред компоненты полей связаны поверхностными зарядами и токами. Из них выводятся отражение, преломление и коэффициенты Френеля.

Ковариантная форма

В СТО электрическое и магнитное поля являются компонентами тензора \(F^{\mu\nu}\).

Уравнения:

\[ \partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu, \]
\[ \partial_{[\alpha}F_{\beta\gamma]}=0. \]

Разделение на \(\vec E\) и \(\vec B\) зависит от системы отсчёта.

Пример 1. Амплитуды

\(E_0=300\) В/м:

\[ B_0=\frac{E_0}{c}=1\ \text{мкТл}. \]

Пример 2. Радиоволна

\(f=100\) МГц:

\[ \lambda=\frac{3\cdot10^8}{10^8}=3\ \text{м}. \]

Пример 3. Интенсивность

\(E_0=100\) В/м:

\[ I=\frac12c\varepsilon_0E_0^2 \approx13{,}3\ \text{Вт/м}^2. \]

Ошибки

  • Считать \(\vec E\) и \(\vec B\) независимыми в волне.
  • Забывать ток смещения.
  • Считать электромагнитную волну продольной в вакууме.
  • Путать скорость распространения энергии и фазовую скорость в диспергирующей среде.

Самопроверка

  1. Что создаёт вихревое электрическое поле?
  2. Почему магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю?
  3. Как связаны \(E\) и \(B\) в плоской волне вакуума?
Ответы 1. Изменяющееся магнитное поле. 2. Магнитные линии замкнуты, монополи не обнаружены. 3. \(E=cB\).