Шпаргалки / Физика / Электродинамика

03. Потенциал, напряжение и энергия поля

Потенциал, напряжение и энергия электрического поля

Уровень: база → первый курс

Потенциальность электростатического поля

Работа электростатической силы не зависит от пути:

\[ \oint\vec E\cdot d\vec l=0. \]

Поэтому можно ввести потенциальную энергию и потенциал.

Потенциальная энергия заряда

\[ U=q\varphi. \]

Для двух точечных зарядов:

\[ U=k\frac{qQ}{r}. \]

Знак важен:

  • одноимённые заряды: \(U>0\);
  • разноимённые: \(U<0\) при нуле на бесконечности.

Потенциал

\[ \varphi=\frac{U}{q}. \]

Единица:

\[ 1\ \text{В}=1\ \text{Дж/Кл}. \]

Для точечного заряда:

\[ \varphi=k\frac{Q}{r}. \]

Потенциалы складываются алгебраически:

\[ \varphi=\sum_i\varphi_i. \]

Напряжение

Напряжение между точками 1 и 2:

\[ U_{12}=\varphi_1-\varphi_2. \]

Работа поля при переносе заряда из 1 в 2:

\[ A_{1\to2}=q(\varphi_1-\varphi_2)=qU_{12}. \]

Обратите внимание: буквой \(U\) обозначают и напряжение, и потенциальную энергию в разных традициях. Контекст обязан быть ясен.

Связь поля и потенциала

\[ \vec E=-\nabla\varphi. \]

В одном измерении:

\[ E_x=-\frac{d\varphi}{dx}. \]

Поле направлено в сторону быстрого уменьшения потенциала.

В однородном поле вдоль линии:

\[ U=Ed \]

по модулю, если перемещение параллельно полю.

Эквипотенциальные поверхности

На них

\[ \varphi=\text{const}. \]

Работа вдоль поверхности равна нулю. Поле перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.

Проводник в электростатическом равновесии является эквипотенциальным.

Энергия системы зарядов

\[ U=\frac12\sum_i q_i\varphi_{\text{ост}}(\vec r_i). \]

Половина исключает двойной счёт пар.

Энергия поля

В вакууме плотность энергии:

\[ u_E=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}. \]

Полная энергия:

\[ W=\int u_E\,dV. \]

Это показывает, что энергия локализована в поле, а не только «принадлежит зарядам».

Пример 1. Работа

Заряд \(q=2\) мкКл проходит разность потенциалов \(100\) В:

\[ A=qU=2\cdot10^{-6}\cdot100 =2\cdot10^{-4}\ \text{Дж}. \]

Пример 2. Электрон в напряжении

Электрон проходит ускоряющее напряжение \(1000\) В. Изменение кинетической энергии по модулю:

\[ \Delta E_k=eU=1000\ \text{эВ}=1\ \text{кэВ}. \]

В джоулях:

\[ 1{,}602\cdot10^{-16}\ \text{Дж}. \]

Пример 3. Потенциал двух зарядов

Для \(+Q\) и \(-Q\) в точке, равноудалённой от них:

\[ \varphi=k\frac Qr-k\frac Qr=0. \]

Но поле может быть ненулевым, потому что векторы складываются иначе.

Ошибки

  • Считать потенциал вектором.
  • Путать нулевой потенциал и нулевое поле.
  • Путать напряжение и напряжённость.
  • Забывать знак заряда в работе и энергии.

Самопроверка

  1. Может ли \(\varphi=0\), а \(\vec E\ne0\)?
  2. Куда направлено поле относительно уровней потенциала?
  3. Какая энергия приобретается электроном при прохождении \(10\) В?
Ответы 1. Да. 2. В сторону уменьшения потенциала, перпендикулярно эквипотенциалям. 3. \(10\) эВ.