Шпаргалки / Физика / Релятивистская физика

Пространство-время, гравитация

Пространство-время и гравитация

Уровень: База → обзор

Эта заметка связывает ньютоновскую гравитацию с геометрическим описанием пространства-времени и показывает, где заканчивается приближение слабого поля.

Что надо понять

  • В слабом поле гравитацию удобно описывать потенциалом.
  • Свободное падение локально неотличимо от движения без гравитации.
  • Гравитация влияет на ход часов и распространение света.
  • ОТО становится необходимой при сильных полях и высокой точности.

Основные формулы

1. Ньютоновский потенциал

\[ \Phi=-\frac{GM}{r},\qquad \vec g=-\nabla\Phi \]

Потенциал измеряется в Дж/кг.

2. Слабое поле и часы

\[ \frac{\Delta f}{f}\approx\frac{\Delta\Phi}{c^2} \]

Часы выше в поле Земли идут немного быстрее.

3. Радиус Шварцшильда

\[ r_s=\frac{2GM}{c^2} \]

Характерный масштаб невращающегося компактного объекта.

4. Принцип эквивалентности

\[ m_{\text{инерт}}=m_{\text{грав}} \]

Объясняет одинаковое ускорение свободного падения.

5. Геодезическая

\[ \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau}=0 \]

Свободное тело движется по наиболее прямой линии искривлённого пространства-времени.

Разобранные задачи

Задача 1. Красное смещение

Условие. Два уровня отличаются потенциалом на \(\Delta\Phi=10^7\) Дж/кг. Оценить относительное изменение частоты.

Решение.

\[ \frac{\Delta f}{f}\approx\frac{10^7}{(3\cdot10^8)^2} \approx1{,}1\cdot10^{-10}. \]

Ответ: \(1{,}1\cdot10^{-10}\).

Задача 2. Радиус Солнца

Условие. Оценить радиус Шварцшильда Солнца: \(M=2\cdot10^{30}\) кг.

Решение.

\[ r_s=\frac{2GM}{c^2} \approx\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{30}} {9\cdot10^{16}} \approx3{,}0\cdot10^3\,\text{м}. \]

Ответ: примерно \(3\) км.

Задача 3. Лифт Эйнштейна

Условие. Почему луч света в ускоряющемся лифте кажется искривлённым?

Решение.

За время прохождения света лифт приобретает дополнительную скорость и смещается. По принципу эквивалентности аналогичный эффект должен возникать в гравитационном поле. В геометрическом описании свет идёт по нулевой геодезической.

Ответ: гравитация отклоняет свет через геометрию пространства-времени.

Алгоритм решения

  1. Оценить безразмерную величину \(|\Phi|/c^2\).
  2. Если она мала, использовать слабополевое приближение.
  3. Для сильного поля выбрать метрику.
  4. Рассчитывать измеримые интервалы, частоты и траектории.
  5. Не путать координатные особенности с физическими.

Частые ошибки

  • Считать гравитационное замедление времени эффектом механической неисправности часов.
  • Путать радиус Шварцшильда с реальным радиусом любого тела.
  • Считать, что свет отклоняется из-за массы покоя фотона.
  • Использовать ньютоновский потенциал возле горизонта чёрной дыры.

Задачи для самопроверки

  1. Что лежит в основе принципа эквивалентности?
ОтветЛокальная неразличимость ускорения и однородного гравитационного поля.
  1. Как идут часы глубже в гравитационном поле?
ОтветМедленнее относительно часов выше.
  1. Орбита в ОТО — это действие силы?
ОтветСвободное движение по геодезической.

Связи с другими темами

Краткий итог

Эта заметка связывает ньютоновскую гравитацию с геометрическим описанием пространства-времени и показывает, где заканчивается приближение слабого поля.