Шпаргалки / Физика / Университетское продолжение

01. Аналитическая механика

Аналитическая механика

Уровень: университет

Зачем она нужна

Ньютоновская механика требует рисовать все силы в декартовых координатах. Для систем со связями, вращением и многими степенями свободы это становится громоздко.

Аналитическая механика описывает движение через:

  • обобщённые координаты;
  • энергию;
  • принцип действия;
  • симметрии.

Она не заменяет Ньютона физически, а организует те же законы более мощным языком.

Степени свободы

Число независимых параметров, необходимых для задания конфигурации.

  • точка в пространстве: 3;
  • точка на сфере: 2;
  • твёрдое тело: 6;
  • двойной маятник: 2 угла.

Обобщённые координаты:

\[ q_1,q_2,\ldots,q_n. \]

Они не обязаны иметь размерность длины.

Связи

Голономные связи записываются:

\[ f_\alpha(q_i,t)=0. \]

Пример маятника:

\[ x^2+y^2-l^2=0. \]

Вместо \(x,y\) удобно использовать один угол \(\theta\).

Лагранжиан

Для многих механических систем:

\[ L(q_i,\dot q_i,t)=T-U. \]

Действие

\[ S=\int_{t_1}^{t_2}L\,dt. \]

Реальная траектория делает действие стационарным:

\[ \delta S=0. \]

Уравнения Эйлера—Лагранжа

\[ \frac d{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}=0. \]

Пример: математический маятник

Координата \(q=\theta\).

\[ T=\frac12ml^2\dot\theta^2. \]

Выбирая ноль энергии в нижней точке:

\[ U=mgl(1-\cos\theta). \]
\[ L=\frac12ml^2\dot\theta^2-mgl(1-\cos\theta). \]

Уравнение:

\[ ml^2\ddot\theta+mgl\sin\theta=0. \]
\[ \ddot\theta+\frac gl\sin\theta=0. \]

При малых углах получается гармонический осциллятор.

Обобщённый импульс

\[ p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}. \]

Он не всегда равен \(m\dot q_i\). В электромагнитном поле канонический импульс отличается от механического.

Циклическая координата

Если

\[ \frac{\partial L}{\partial q_i}=0, \]

то

\[ p_i=\text{const}. \]

Пример: если лагранжиан не зависит от угла поворота, сохраняется соответствующий угловой момент.

Энергия

\[ E=\sum_i\dot q_i\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-L. \]

Если \(L\) не зависит явно от времени:

\[ E=\text{const} \]

при обычных условиях.

Теорема Нётер

Непрерывной симметрии соответствует закон сохранения:

  • однородность времени → энергия;
  • однородность пространства → импульс;
  • изотропия пространства → угловой момент.

Это объясняет законы сохранения глубже, чем отдельное запоминание.

Гамильтонова механика

Гамильтониан:

\[ H(q_i,p_i,t)=\sum_ip_i\dot q_i-L. \]

Уравнения Гамильтона:

\[ \dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \]
\[ \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}. \]

Состояние движется в фазовом пространстве \((q,p)\).

Скобки Пуассона

\[ \{A,B\} = \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} \right). \]
\[ \dot A=\{A,H\}+\frac{\partial A}{\partial t}. \]

Они являются классическим предшественником квантовых коммутаторов.

Что обязательно понимать

  • координаты выбирают под геометрию задачи;
  • силы связей могут исчезнуть из уравнений при правильном выборе координат;
  • действие стационарно, не обязательно минимально;
  • канонические величины зависят от формализма, измеримые предсказания — нет.

Самопроверка

  1. Что такое степень свободы?
  2. Какая симметрия связана с сохранением энергии?
  3. Когда обобщённый импульс сохраняется?
Ответы 1. Независимый параметр конфигурации. 2. Однородность времени. 3. Когда соответствующая координата циклическая.