Шпаргалки / Физика / 01. Основы физики

04. Скаляры и векторы

Скаляры и векторы

Уровень: с нуля

Скаляр

Скалярная величина задаётся числом и единицей. Примеры:

  • масса;
  • температура;
  • время;
  • энергия;
  • путь;
  • электрический потенциал.

Скаляр может быть отрицательным, но у него нет пространственного направления.

Вектор

Векторная величина имеет модуль и направление. Примеры:

  • перемещение;
  • скорость;
  • ускорение;
  • сила;
  • импульс;
  • напряжённость электрического поля.

Вектор обозначают стрелкой:

\[ \vec A. \]

Его модуль:

\[ A=|\vec A|\ge0. \]

Равенство векторов

Два вектора равны, если имеют одинаковые модуль и направление. Их положение на рисунке несущественно для свободного вектора.

Сложение

По правилу треугольника:

\[ \vec C=\vec A+\vec B. \]

Компонентно:

\[ C_x=A_x+B_x, \]
\[ C_y=A_y+B_y. \]

Вычитание

\[ \vec A-\vec B=\vec A+(-\vec B). \]

Проекции

Если угол \(\alpha\) отсчитывается от положительного направления оси \(x\):

\[ A_x=A\cos\alpha, \]
\[ A_y=A\sin\alpha. \]

Обратно:

\[ A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}. \]

Направление:

\[ \tan\alpha=\frac{A_y}{A_x}, \]

но квадрант надо определять по знакам проекций или применять функцию \(\operatorname{atan2}\).

Единичные векторы

В декартовой системе:

\[ \vec A=A_x\vec e_x+A_y\vec e_y+A_z\vec e_z. \]

Скалярное произведение

\[ \vec A\cdot\vec B=AB\cos\theta =A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z. \]

Результат — скаляр. Применения:

  • работа \(A=\vec F\cdot\vec s\);
  • мощность \(P=\vec F\cdot\vec v\);
  • проверка перпендикулярности: \(\vec A\cdot\vec B=0\).

Векторное произведение

\[ \vec A\times\vec B \]

перпендикулярно обоим векторам. Модуль:

\[ |\vec A\times\vec B|=AB\sin\theta. \]

Направление задаётся правилом правой руки. Применения:

  • момент силы \(\vec\tau=\vec r\times\vec F\);
  • сила Лоренца \(q\vec v\times\vec B\);
  • угловой момент \(\vec L=\vec r\times\vec p\).

Пример 1. Сумма сил

Действуют силы

\[ \vec F_1=(3,4)\ \text{Н}, \]
\[ \vec F_2=(-1,2)\ \text{Н}. \]

Тогда

\[ \vec F=(2,6)\ \text{Н}, \]
\[ F=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}\approx6{,}32\ \text{Н}. \]

Пример 2. Работа

Сила \(10\) Н направлена под \(60^\circ\) к перемещению \(3\) м:

\[ A=Fs\cos60^\circ=10\cdot3\cdot0{,}5=15\ \text{Дж}. \]

Пример 3. Отрицательная проекция

Если скорость направлена влево, а ось \(x\) вправо, то

\[ v_x<0. \]

Отрицательная проекция не означает отрицательный модуль скорости.

Типичные ошибки

  • Складывать модули вместо векторов.
  • Путать отрицательную проекцию и отрицательный модуль.
  • Использовать синус и косинус без проверки, от какой оси задан угол.
  • Определять направление векторного произведения правилом левой руки без причины.

Самопроверка

  1. Вектор имеет проекции \(-3\) и \(4\). Найти модуль.
  2. Когда скалярное произведение равно нулю?
  3. Что получается в результате векторного произведения двух параллельных векторов?
Ответы 1. \(5\). 2. Для ненулевых перпендикулярных векторов. 3. Нулевой вектор.