Шпаргалки / Математика / Школа / Геометрия

Окружности

1. Основные определения

  • Окружность — множество точек на плоскости, равноудалённых от центра \(O\).
  • Центр окружности: \(O\)
  • Радиус: \(R\) — отрезок от центра до любой точки окружности
  • Диаметр: \(D = 2R\)
  • Хорда: отрезок, соединяющий две точки окружности
  • Стрелка хорды: перпендикуляр от середины хорды к дуге
  • Сектор: часть круга, ограниченная двумя радиусами
  • Сегмент: часть круга, ограниченная хордой и дугой
  • Касательная: прямая, которая касается окружности в одной точке
  • Секущая: прямая, пересекающая окружность в двух точках

2. Свойства хорд

  1. Середина хорды и радиус
    Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен хорде.

  2. Пересечение хорд
    Если две хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\), то:

\[ AP \cdot PB = CP \cdot PD \]

3. Свойства касательных

  1. Касательная и радиус
    Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания:
\[ \vec{OT} \perp \text{касательная в точке } T \]
  1. Две касательные из одной точки вне окружности
    Из точки \(P\) вне окружности проведены касательные \(PA\) и \(PB\):
\[ PA = PB \]
  1. Касательная и секущая
    Если через точку \(P\) вне окружности проведены секущая \(PAB\) и касательная \(PT\):
\[ PT^2 = PA \cdot PB \]

4. Углы, связанные с окружностью

  1. Центральный угол и вписанный угол
    • Вписанный угол: вершина на окружности
    • Центральный угол: вершина в центре
\[ \text{Центральный угол} = 2 \cdot \text{вписанный угол} \]
  1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр
    Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
\[ \alpha = 90^\circ \]
  1. Углы с касательной и хордой
    Угол между касательной и хордой равен углу, лежащему на дуге, противоположной хорде:
\[ \angle \text{касательная-хорда} = \angle \text{дуга противоположная} \]
  1. Вертикальные углы и смежные углы на пересечении хорд
    • Вертикальные углы равны
    • Смежные углы при пересечении хорд:
\[ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \]
  1. Накрест лежащие углы при секущих через параллельные линии
\[ \angle 1 = \angle 2 \]

5. Дуги и длины

  1. Длина дуги
\[ l = R \cdot \alpha \]
  • \(\alpha\) в радианах
  1. Площадь сектора
\[ S_{\text{сектор}} = \frac{1}{2} R^2 \alpha \]
  1. Площадь сегмента
\[ S_{\text{сегмент}} = \frac{1}{2} R^2 (\alpha - \sin \alpha) \]

6. Теорема Птолемея (для вписанного четырёхугольника)

  • Если \(ABCD\) вписан в окружность:
\[ AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC \]

7. Радиусы и касательные

  • Расстояние от точки на касательной до центра:
\[ OP \perp PT \]
  • Известное свойство: если \(PA\) и \(PB\) — касательные из одной точки вне окружности:
\[ PA = PB \]

8. Полезные символы

Символ Значение
\(O\) центр окружности
\(R\) радиус
\(D\) диаметр
\(AB, CD\) хорды
\(l\) длина дуги
\(\alpha\) угол (радианы)
\(PT\) касательная
\(PA, PB\) касательные из одной точки вне окружности
\(S_{\text{сектор}}\) площадь сектора
\(S_{\text{сегмент}}\) площадь сегмента