Шпаргалки / Математика / Школа / Геометрия

Окружности

1. Основные определения

  • Окружность — множество точек на плоскости, равноудалённых от центра $O$.
  • Центр окружности: $O$
  • Радиус: $R$ — отрезок от центра до любой точки окружности
  • Диаметр: $D = 2R$
  • Хорда: отрезок, соединяющий две точки окружности
  • Стрелка хорды: перпендикуляр от середины хорды к дуге
  • Сектор: часть круга, ограниченная двумя радиусами
  • Сегмент: часть круга, ограниченная хордой и дугой
  • Касательная: прямая, которая касается окружности в одной точке
  • Секущая: прямая, пересекающая окружность в двух точках

2. Свойства хорд

  1. Середина хорды и радиус
    Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен хорде.

  2. Пересечение хорд
    Если две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, то:

\[ AP \cdot PB = CP \cdot PD \]

3. Свойства касательных

  1. Касательная и радиус
    Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания:
\[ \vec{OT} \perp \text{касательная в точке } T \]
  1. Две касательные из одной точки вне окружности
    Из точки $P$ вне окружности проведены касательные $PA$ и $PB$:
\[ PA = PB \]
  1. Касательная и секущая
    Если через точку $P$ вне окружности проведены секущая $PAB$ и касательная $PT$:
\[ PT^2 = PA \cdot PB \]

4. Углы, связанные с окружностью

  1. Центральный угол и вписанный угол
    • Вписанный угол: вершина на окружности
    • Центральный угол: вершина в центре
\[ \text{Центральный угол} = 2 \cdot \text{вписанный угол} \]
  1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр
    Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
\[ \alpha = 90^\circ \]
  1. Углы с касательной и хордой
    Угол между касательной и хордой равен углу, лежащему на дуге, противоположной хорде:
\[ \angle \text{касательная-хорда} = \angle \text{дуга противоположная} \]
  1. Вертикальные углы и смежные углы на пересечении хорд
    • Вертикальные углы равны
    • Смежные углы при пересечении хорд:
\[ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \]
  1. Накрест лежащие углы при секущих через параллельные линии
\[ \angle 1 = \angle 2 \]

5. Дуги и длины

  1. Длина дуги
\[ l = R \cdot \alpha \]
  • $\alpha$ в радианах
  1. Площадь сектора
\[ S_{\text{сектор}} = \frac{1}{2} R^2 \alpha \]
  1. Площадь сегмента
\[ S_{\text{сегмент}} = \frac{1}{2} R^2 (\alpha - \sin \alpha) \]

6. Теорема Птолемея (для вписанного четырёхугольника)

  • Если $ABCD$ вписан в окружность:
\[ AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC \]

7. Радиусы и касательные

  • Расстояние от точки на касательной до центра:
\[ OP \perp PT \]
  • Известное свойство: если $PA$ и $PB$ — касательные из одной точки вне окружности:
\[ PA = PB \]

8. Полезные символы

Символ Значение
$O$ центр окружности
$R$ радиус
$D$ диаметр
$AB, CD$ хорды
$l$ длина дуги
$\alpha$ угол (радианы)
$PT$ касательная
$PA, PB$ касательные из одной точки вне окружности
$S_{\text{сектор}}$ площадь сектора
$S_{\text{сегмент}}$ площадь сегмента