Шпаргалки / Физика / 01. Основы физики

07. Графики физических величин

Графики физических величин

Уровень: с нуля

Что показывает график

График отображает зависимость одной величины от другой. Запись

\[ x=x(t) \]

означает, что координата зависит от времени.

Ось абсцисс обычно содержит независимую переменную, ось ординат — зависимую.

Значение функции

Точка графика \((t_0,x_0)\) означает:

в момент \(t_0\) координата равна \(x_0\).

Наклон

Для прямой

\[ k=\frac{\Delta y}{\Delta x}. \]

На графике координаты от времени наклон равен скорости:

\[ v=\frac{\Delta x}{\Delta t}. \]

Для кривой мгновенная скорость равна наклону касательной:

\[ v=\frac{dx}{dt}. \]

Площадь под графиком

Площадь под \(v(t)\) даёт перемещение:

\[ \Delta x=\int v(t)\,dt. \]

Площадь ниже оси времени отрицательна и уменьшает перемещение. Путь при этом требует интеграла модуля скорости:

\[ s=\int |v(t)|\,dt. \]

Площадь под графиком силы от времени даёт импульс силы:

\[ J=\int F(t)\,dt. \]

Площадь под \(p(V)\) даёт работу газа:

\[ A=\int p\,dV. \]

График \(x(t)\)

  • горизонтальная линия: покой;
  • прямая с положительным наклоном: постоянная положительная скорость;
  • прямая с отрицательным наклоном: движение в отрицательном направлении;
  • растущий наклон: положительное ускорение.

График \(v(t)\)

  • значение графика — скорость;
  • наклон — ускорение;
  • площадь — перемещение.

График \(a(t)\)

  • значение — ускорение;
  • площадь — изменение скорости:
\[ \Delta v=\int a(t)\,dt. \]

Пример

Скорость растёт линейно от \(2\) до \(8\) м/с за \(3\) с.

Ускорение:

\[ a=\frac{8-2}{3}=2\ \text{м/с}^2. \]

Перемещение — площадь трапеции:

\[ s=\frac{2+8}{2}\cdot3=15\ \text{м}. \]

Линеаризация

Нелинейную зависимость иногда преобразуют в линейную.

Если

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, \]

то

\[ T^2=\frac{4\pi^2}{g}l. \]

График \(T^2(l)\) должен быть прямой. По наклону можно найти \(g\).

Логарифмические графики

Если

\[ y=Cx^n, \]

то

\[ \ln y=\ln C+n\ln x. \]

На графике \(\ln y\) от \(\ln x\) наклон равен показателю степени \(n\).

Типичные ошибки

  • Считать высоту графика скоростью на графике \(x(t)\).
  • Считать обычную геометрическую площадь без учёта единиц осей.
  • Игнорировать знак площади ниже оси.
  • Соединять экспериментальные точки ломаной, когда нужна аппроксимация.

Самопроверка

  1. Что даёт наклон графика \(v(t)\)?
  2. Что даёт площадь под графиком \(F(t)\)?
  3. Чем путь отличается от площади под \(v(t)\), если скорость меняет знак?
Ответы 1. Ускорение. 2. Импульс силы. 3. Для пути надо складывать абсолютные площади.