Шпаргалки / Физика / Релятивистская физика

Общая теория относительности (ОТО)

Уровень: Вуз → обзор

ОТО описывает гравитацию как динамическую геометрию пространства-времени, которую определяют энергия, импульс и давление.

Что надо понять

  • Материя и энергия определяют кривизну пространства-времени.
  • Кривизна определяет движение свободных тел и света.
  • Локально можно выбрать свободно падающую систему, где гравитация исчезает в одной точке.
  • Теория предсказывает чёрные дыры, гравитационные волны и расширение Вселенной.

Основные формулы

1. Уравнение Эйнштейна

\[ G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} \]

Левая часть описывает геометрию, правая — материю и энергию.

2. Метрика

\[ ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu \]

Метрика задаёт измеряемые интервалы.

3. Шварцшильд

\[ ds^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2-r^2d\Omega^2 \]

Решение вне сферически-симметричной невращающейся массы.

4. Гравитационное время

\[ d\tau=dt\sqrt{1-\frac{r_s}{r}} \]

Для неподвижных часов в метрике Шварцшильда.

5. Гравитационные волны

\[ \Box\bar h_{\mu\nu}=0 \]

В слабом поле возмущения метрики распространяются со скоростью света.

Разобранные задачи

Задача 1. Временной фактор

Условие. На расстоянии \(r=4r_s\) найти отношение собственного времени неподвижных часов к координатному.

Решение.

\[ \frac{d\tau}{dt}=\sqrt{1-\frac{r_s}{4r_s}} =\sqrt{\frac34}\approx0{,}866. \]

Ответ: \(0{,}866\).

Задача 2. Плотность энергии

Условие. Почему давление входит в источник гравитации?

Решение.

В ОТО источником является не только плотность массы, а полный тензор энергии-импульса \(T_{\mu\nu}\). Его пространственные компоненты содержат давление и напряжения, поэтому они также влияют на кривизну.

Ответ: гравитацию создаёт весь тензор энергии-импульса.

Задача 3. Гравитационная волна

Условие. Что физически измеряет интерферометр?

Решение.

Проходящая волна изменяет собственные расстояния в двух перпендикулярных направлениях. Интерферометр сравнивает фазы света в плечах и регистрирует относительную деформацию:

\[ h\sim\frac{\Delta L}{L}. \]

Ответ: безразмерную относительную деформацию пространства.

Алгоритм решения

  1. Выбрать симметрию и координаты.
  2. Задать метрику.
  3. Найти геодезические или измеримые интервалы.
  4. Проверить слабополевой предел.
  5. Отделять координатные сингулярности от инвариантной кривизны.

Частые ошибки

  • Представлять искривление только как поверхность, вложенную во внешнее пространство.
  • Считать координатное время непосредственно измеряемым всеми наблюдателями.
  • Путать горизонт событий и физическую поверхность.
  • Считать гравитационные волны звуковыми колебаниями среды.

Задачи для самопроверки

  1. Что стоит справа в уравнении Эйнштейна?
ОтветТензор энергии-импульса.
  1. С какой скоростью распространяются гравитационные волны?
ОтветСо скоростью света.
  1. Что такое геодезическая?
ОтветНаиболее прямая мировая линия в заданной геометрии.

Связи с другими темами

Краткий итог

ОТО описывает гравитацию как динамическую геометрию пространства-времени, которую определяют энергия, импульс и давление.