Шпаргалки / Математика / Школа / Алгебра

Геометрическая прогрессия

Пусть последовательность ${a_n}$ такова, что её первый член отличен от нуля $(b\neq 0)$, а каждый следующий равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число $(q\neq 0)$, то есть $x_1=b,\quad x_{n+1}=qx_n$

Это постоянное для данной последовательности число $q$ называется знаменателем геометрической прогрессии.

Геометрические прогрессии бывают конечные, бесконечные, возрастающие и убывающие. Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

x_n=bq^{n-1},\qquad \begin{align} &b-\text{первый член прогрессии}\\ &q-\text{знаментатель прогрессии} \end{align}

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

\sum_{k=1}^{n} x_k = x_1 + x_2 + \dots + x_n = b \frac{q^n - 1}{q - 1},\quad q\neq 1

Свойства геометрической прогрессии

Свойство 1. Характеристическое

Квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов

Свойство 2

Произведения членов конечной геометрической прогрессии, равноудаленных от её крайних членов, одинаковы и равны произведению крайних членов.

Арифметическая прогрессия

Пусть последовательность ${a_n}$ такова, что её первый член равен , а каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число $d$, иными словами,

a_1,\quad a_{n+1}=a_n+d,

тогда такая последовательность называется арифметической прогрессией. Число $d$ называется разностью (или шагом) прогрессии.

Если шаг прогрессии равен 0, то это постоянная последовательность $a_1,a_2,a_3=c,c,c,c\dots$. Все члены равны первому, и шаг не меняет ничего - прогрессия, и константа одновременно.

Формула общего члена арифметической прогрессии

a_n=a_1+(n-1)d,\quad n\in N

Cумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме её крайних членов, умноженной на число членов:

\sum_{k=1}^{n} x_k = x_1 + x_2 + \dots + x_n = \frac{x_1+x_n}{2}n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}n,\quad a\neq 1

Формула для количества элементов n прогрессии

n=\frac{a_n-a_1}{d}+1

Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. Характеристическое

Любой член бесконечной арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Последовательность ${a_n}$ является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого натурального $k$ имеет место равенство

a_{n}=\frac{a_{n-1}+x_{n+1}}{2}

Свойство 2

Суммы двух членов конечной арифметической прогрессии, равноудаленных от её крайних членов, одинаковы и равны сумме крайних членов этой прогрессии.