Шпаргалки / Физика / Электродинамика

Уравнения Максвелла

Уровень: Вуз

Уравнения Максвелла объединяют электричество, магнетизм, индукцию и электромагнитные волны. Это верхний этаж раздела, а не замена закону Ома на первой неделе.

Что надо понять

  • Заряды являются источниками электрического поля.
  • Магнитных монополей в классической теории нет.
  • Переменное магнитное поле создаёт вихревое электрическое.
  • Ток и переменное электрическое поле создают магнитное.

Основные формулы

1. Гаусс для электрического поля

\[ \nabla\cdot\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \]

Интегральная форма связывает поток через замкнутую поверхность с зарядом внутри.

2. Гаусс для магнитного поля

\[ \nabla\cdot\vec B=0 \]

Магнитные линии не имеют начала и конца.

3. Фарадей

\[ \nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t} \]

Переменное магнитное поле создаёт непотенциальное электрическое.

4. Ампер — Максвелл

\[ \nabla\times\vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t} \]

Ток смещения делает закон согласованным и допускает волны.

5. Сила Лоренца

\[ \vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B) \]

Максвелл задаёт поля, Лоренц — их действие на заряд.

6. Энергия поля

\[ u=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0} \]

Энергия локализована в полях.

Разобранные задачи

Задача 1. Плоская волна

Условие. Как связаны амплитуды \(E_0\) и \(B_0\) в вакууме?

Решение.

Из решения волновых уравнений:

\[ E_0=cB_0. \]

Например, при \(E_0=300\) В/м:

\[ B_0=\frac{300}{3\cdot10^8}=10^{-6}\,\text{Тл}. \]

Ответ: \(B_0=1\) мкТл.

Задача 2. Ток смещения

Условие. Почему магнитное поле существует между пластинами заряжающегося конденсатора?

Решение.

Проводимости между пластинами нет, но электрический поток меняется:

\[ I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}. \]

Ток смещения продолжает магнитное поле через зазор и сохраняет непрерывность закона Ампера.

Ответ: магнитное поле создаётся изменяющимся электрическим потоком.

Задача 3. Волновая скорость

Условие. Вывести скорость волны из констант вакуума.

Решение.

Из уравнений Максвелла получается волновое уравнение:

\[ \nabla^2\vec E=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}. \]

Сравнение со стандартным видом даёт:

\[ c=\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}. \]

Ответ: \(c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\).

Алгоритм решения

  1. Определить источники и зависимость от времени.
  2. Выбрать дифференциальную или интегральную форму.
  3. Использовать симметрию.
  4. Проверить граничные условия.
  5. Для волны исключить одно поле и получить волновое уравнение.

Частые ошибки

  • Считать \(\vec E\) и \(\vec B\) независимыми.
  • Забывать ток смещения.
  • Применять статические потенциалы к вихревому электрическому полю.
  • Пытаться решать базовую цепь полным аппаратом Максвелла.

Задачи для самопроверки

  1. Дивергенция магнитного поля?
ОтветНоль.
  1. Что создаёт вихревое электрическое поле?
ОтветИзменяющееся магнитное поле.
  1. Как направлены \(\vec E\), \(\vec B\) и распространение волны?
ОтветВзаимно перпендикулярно.

Связи с другими темами

Краткий итог

Уравнения Максвелла объединяют электричество, магнетизм, индукцию и электромагнитные волны. Это верхний этаж раздела, а не замена закону Ома на первой неделе.