Квадратные

Коэффициенты

Для квадратной функции

• \(a\) — задаёт форму и направление параболы:
  • \(a>0\) — ветви вверх;
  • \(a<0\) — ветви вниз;
  • чем больше \(\lvert a\rvert\), тем парабола уже;
  • чем меньше \(\lvert a\rvert\), тем парабола шире.
• \(b\) — влияет на положение вершины и оси симметрии параболы, то есть смещает вершину вдоль оси \(Ox\).

• \(c\) — задаёт точку пересечения с осью \(Oy\):

  \[ f(0)=c \]

Дискриминант и корни

• \(D>0\) — два разных действительных корня:

  \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]

• \(D=0\) — один действительный корень (или два совпадающих):

  \[ x=-\frac{b}{2a} \]

• \(D<0\) — действительных корней нет (парабола не пересекает ось \(Ox\)), есть только комплексные:

  \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{\lvert D\rvert}}{2a},\quad i^2=-1 \]

Формула чётного коэффициента

В случае, когда второй коэффициент чётный, то есть

корни удобнее находить по формуле:

Теорема Виета

Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни квадратного уравнения

то:

Некоторые свойства

• Если

  \[ a+b+c=0, \]

  то

  \[ x_1=1,\qquad x_2=\frac{c}{a} \]

• Если

  \[ a-b+c=0 \quad\text{(то есть }a+c=b\text{)}, \]

  то

  \[ x_1=-1,\qquad x_2=-\frac{c}{a} \]

Полный квадрат

Выделим полный квадрат:

Так как

то можно записать и так:

Вершина параболы

Тогда квадратная функция записывается в виде:

где \((x_0;\,y_0)\) — координаты вершины параболы.

Ось симметрии параболы:

Разложение на множители

Если квадратное уравнение имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), то:

Если корень один (двойной), то:

Обратное уравнение (трюк с заменой \(x=\frac{1}{y}\))

Если квадратное уравнение имеет вид:

то, сделав замену

получаем:

Умножаем на \(y^2\):

или, в стандартном порядке:

Мы получили обратное уравнение: коэффициенты \(a\) и \(c\) поменялись местами.

Если \(y_1,y_2\) — корни этого нового уравнения,
то корни исходного будут:

Когда применять

• когда неудобно искать корни через дискриминант;
• когда коэффициенты \(a\) и \(c\) такие, что проще поменять их местами;
• когда один из коэффициентов большой, а другой маленький, и можно «перевернуть» задачу.

Важно

⚠️ Не применять, если \(c=0\), потому что тогда \(x=0\) — особый случай, который потеряется при замене \(x=\frac{1}{y}\).

Метод переброса

Если квадратное уравнение имеет вид:

и коэффициент \(a\ne 1\), можно перебросить этот коэффициент к свободному члену \(c\), чтобы получить приведённое квадратное уравнение.

Замена переменной

Делаем замену:

Подставляем в исходное уравнение:

Упрощаем:

Умножаем всё на \(a\):

Получили новое уравнение без дробей — приведённое.
Здесь коэффициент при \(y^2\) равен \(1\), а свободный член стал \(ac\).

Решение

Теперь решаем это уравнение относительно \(y\):

По теореме Виета:

После нахождения \(y_1,y_2\) выполняем обратную замену:

то есть:

Пример

Исходное уравнение:

Перебрасываем коэффициент при \(x^2\) к свободному члену:

Находим корни по теореме Виета:

Обратная замена:

Значит:

Вывод формулы дискриминанта

Домножаем уравнение

на \(4a\), чтобы выделить полный квадрат:

Добавляем и вычитаем \(b^2\):

Сворачиваем часть выражения по формуле полного квадрата:

Переносим:

То есть:

Дальше возможны три случая:

• если \(D<0\), то действительных решений нет;

• если \(D=0\), то

  \[ 2ax+b=0 \]

  и

  \[ x=-\frac{b}{2a}; \]

• если \(D>0\), то

  \[ 2ax+b=\pm\sqrt{D} \]

  и

  \[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]

Пример обратного уравнения

Возьмём уравнение:

Коэффициенты:

Сделаем замену:

Получим:

Произведение корней:

Сумма корней:

Ищем два числа, которые дают сумму \(-\frac{7}{3}\) и произведение \(\frac{2}{3}\).

Подходит:

Возвращаемся к \(x\):