Квадратные

Коэффициенты

Для квадратной функции

• $a$ — задаёт форму и направление параболы:
  • $a>0$ — ветви вверх;
  • $a<0$ — ветви вниз;

  • чем больше $

    a

    $, тем парабола уже;

  • чем меньше $

    a

    $, тем парабола шире.

• $b$ — влияет на положение вершины и оси симметрии параболы, то есть смещает вершину вдоль оси $Ox$.
• $c$ — задаёт точку пересечения с осью $Oy$:

Дискриминант и корни

• $D>0$ — два разных действительных корня:

• $D=0$ — один действительный корень (или два совпадающих):

• $D<0$ — действительных корней нет (парабола не пересекает ось $Ox$), есть только комплексные:

Формула чётного коэффициента

В случае, когда второй коэффициент чётный, то есть

корни удобнее находить по формуле:

Теорема Виета

Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения

то:

Некоторые свойства

• Если

то

• Если

то

Полный квадрат

Выделим полный квадрат:

Так как

то можно записать и так:

Вершина параболы

Тогда квадратная функция записывается в виде:

где $(x_0;\,y_0)$ — координаты вершины параболы.

Ось симметрии параболы:

Разложение на множители

Если квадратное уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то:

Если корень один (двойной), то:

Обратное уравнение (трюк с заменой $x=\frac{1}{y}$)

Если квадратное уравнение имеет вид:

то, сделав замену

получаем:

Умножаем на $y^2$:

или, в стандартном порядке:

Мы получили обратное уравнение: коэффициенты $a$ и $c$ поменялись местами.

Если $y_1,y_2$ — корни этого нового уравнения,
то корни исходного будут:

Когда применять

• когда неудобно искать корни через дискриминант;
• когда коэффициенты $a$ и $c$ такие, что проще поменять их местами;
• когда один из коэффициентов большой, а другой маленький, и можно «перевернуть» задачу.

Важно

⚠️ Не применять, если $c=0$, потому что тогда $x=0$ — особый случай, который потеряется при замене $x=\frac{1}{y}$.

Метод переброса

Если квадратное уравнение имеет вид:

и коэффициент $a\ne 1$, можно перебросить этот коэффициент к свободному члену $c$, чтобы получить приведённое квадратное уравнение.

Замена переменной

Делаем замену:

Подставляем в исходное уравнение:

Упрощаем:

Умножаем всё на $a$:

Получили новое уравнение без дробей — приведённое.
Здесь коэффициент при $y^2$ равен $1$, а свободный член стал $ac$.

Решение

Теперь решаем это уравнение относительно $y$:

По теореме Виета:

После нахождения $y_1,y_2$ выполняем обратную замену:

то есть:

Пример

Исходное уравнение:

Перебрасываем коэффициент при $x^2$ к свободному члену:

Находим корни по теореме Виета:

Обратная замена:

Значит:

Вывод формулы дискриминанта

Домножаем уравнение

на $4a$, чтобы выделить полный квадрат:

Добавляем и вычитаем $b^2$:

Сворачиваем часть выражения по формуле полного квадрата:

Переносим:

То есть:

Дальше возможны три случая:

• если $D<0$, то действительных решений нет;
• если $D=0$, то

и

• если $D>0$, то

и

Пример обратного уравнения

Возьмём уравнение:

Коэффициенты:

Сделаем замену:

Получим:

Произведение корней:

Сумма корней:

Ищем два числа, которые дают сумму $-\frac{7}{3}$ и произведение $\frac{2}{3}$.

Подходит:

Возвращаемся к $x$: