Иррациональные
Уравнения
\[
\sqrt{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
f(x)=g^2(x),\\
g(x)\ge 0.
\end{array}
\end{cases}
\]
\[
\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)} \Leftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
f(x)=g(x),\\
g(x)\ge 0,
\end{array}
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
\begin{array}{l}
f(x)=g(x),\\
f(x)\ge 0,
\end{array}
\end{cases}
\quad
\]
\[
\sqrt[3]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow
f(x)=g^3(x).
\]
\[
\sqrt[3]{f(x)}=\sqrt[3]{g(x)} \Leftrightarrow
f(x)=g(x).
\]
\[
\sqrt{a^2}=|a|
\]
Неравенства
\[
\sqrt{f(x)} \;\vee\; \sqrt{g(x)}
\;\Longleftrightarrow\;
\begin{cases}
f(x) \;\vee\; g(x),\\
f(x) \ge 0,\\
g(x) \ge 0,
\end{cases}
\quad \vee \in \{<, \le, >, \ge\}
\]
\[
\sqrt{f(x)} \;\vee\; g(x)
\;\Longleftrightarrow\;
\left[
\begin{array}{l}
\begin{cases}
g(x) \ge 0,\\
f(x) \;\vee\; g^2(x),\\
f(x) \ge 0
\end{cases} \\[3mm]
\begin{cases}
g(x) < 0,\\
f(x) \ge 0,\\
\vee \in \{>,\ge\}
\end{cases}
\end{array}
\right.
\]
\[
f(x) \;\vee\; \sqrt{g(x)}
\;\Longleftrightarrow\;
\left[
\begin{array}{l}
\begin{cases}
f(x) \ge 0,\\
f(x)^2 \;\vee\; g(x),\\
g(x) \ge 0
\end{cases} \\[3mm]
\begin{cases}
f(x) < 0,\\
g(x) \ge 0,\\
\vee \in \{<,\le\}
\end{cases}
\end{array}
\right.
\]
\[
\sqrt{(h(x))^2} = |h(x)| =
\begin{cases}
h(x), & h(x)\ge 0\\
-h(x), & h(x)<0
\end{cases}
\]
\[
\sqrt[2n+1]{f(x)} \;\vee\; \sqrt[2n+1]{g(x)}
\;\Longleftrightarrow\;
f(x) \;\vee\; g(x),
\quad \vee \in \{<, \le, >, \ge\}, \; n \in \mathbb{N}
\]
\[
\sqrt[2n+1]{f(x)} \;\vee\; g(x)
\;\Longleftrightarrow\;
f(x) \;\vee\; g^{2n+1}(x),
\quad \vee \in \{<, \le, >, \ge\}, \; n \in \mathbb{N}
\]
\[
f(x) \;\vee\; \sqrt[2n+1]{g(x)}
\;\Longleftrightarrow\;
f(x)^{2n+1} \;\vee\; g(x),
\quad \vee \in \{<, \le, >, \ge\}, \; n \in \mathbb{N}
\]
Методы решения
Метод 1
Исключение радикалов путём возведения уравнения в соответствующую степень.
\[
\sqrt{x+3} = x - 1 \quad \Rightarrow \quad x+3 = (x-1)^2, \quad a+3\ge0
\]
Метод 2
Умножение на сопряженный множитель.
\[
\frac{1}{\sqrt{x}+2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)} = \sqrt{x}-2
\]
Метод 3
Метод замены переменной:
- Выделить повторяющееся выражение.
- Заменить это выражение на новую переменную.
- Решить уравнение относительно новой переменной.
- Сделать обратную замену.
Метод 4
Выделение полного квадрата (квадрата двучлена):
\[
\sqrt{a^2(x-x_0)^2}=f(x) \Leftrightarrow |a(x-x_0)|=f(x)
\]