Шпаргалки / Математика / Школа / Матанализ / Дифференциальное исчисление

Частные производные

1. Понятие частной производной

Если функция зависит от нескольких переменных, например $$f(x, y, z, ...)$$ , то частная производная показывает, как быстро функция изменяется при изменении одной переменной, когда все остальные остаются фиксированными.

Формальное определение:

\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}

Для функции двух переменных $$f(x, y)$$ :

\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}

\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y+\Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}

2. Геометрический смысл

Если рассматривать график $$z = f(x, y)$$ как поверхность, то:

$\frac{\partial f}{\partial x}$ — это наклон касательной плоскости в направлении оси $$x$$ (при фиксированном $$y$$ );
$\frac{\partial f}{\partial y}$ — наклон в направлении оси $$y$$ (при фиксированном $$x$$ ).

Иными словами, частные производные показывают, как изменяется высота поверхности при движении вдоль осей координат.

3. Физический смысл

Если $$f(x, y)$$ выражает физическую величину (например, температуру, давление или высоту), то:

$\frac{\partial f}{\partial x}$ — изменение этой величины при движении вдоль оси $$x$$ ;
$\frac{\partial f}{\partial y}$ — изменение вдоль оси $$y$$ .

Пример: если $$f(x, y)$$ — температура в точке $$(x, y)$$ , то $\frac{\partial f}{\partial x} = 5$ означает, что при увеличении $$x$$ на единицу температура возрастает на 5 единиц.

4. Основные правила дифференцирования

Сумма/разность:

\frac{\partial}{\partial x}(f \pm g) = \frac{\partial f}{\partial x} \pm \frac{\partial g}{\partial x}

Произведение:

\frac{\partial}{\partial x}(fg) = f_x g + f g_x

Частное:

\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{f_x g - f g_x}{g^2}, \quad g \ne 0

Сложная (составная) функция:
Если $$z = f(u(x, y), v(x, y))$$ , то:

\frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot u_x + f_v \cdot v_x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = f_u \cdot u_y + f_v \cdot v_y

5. Частные производные второго порядка

Если у функции $$f(x, y)$$ существуют производные первого порядка, их можно дифференцировать ещё раз:

По одной переменной дважды:

f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

Смешанные производные:

f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

Теорема Шварца (о равенстве смешанных производных):
если $f_{xy}$ и $f_{yx}$ непрерывны, то

f_{xy} = f_{yx}

6. Полный дифференциал функции

Для функции $$f(x, y)$$ :

df = f_x \, dx + f_y \, dy

Полный дифференциал показывает, как малые изменения $$x$$ и $$y$$ влияют на изменение функции $$f$$ .
Это линейное приближение приращения функции.

7. Градиент функции

Градиент — это вектор, составленный из всех частных производных:

\nabla f = (f_x, f_y, f_z, ...)

Направление градиента — направление наибольшего роста функции.
Модуль градиента показывает скорость изменения функции в этом направлении.

8. Направная производная

Направная производная показывает, как быстро изменяется функция в направлении произвольного вектора $\vec{l}$ (единичной длины):

D_{\vec{l}} f = \nabla f \cdot \vec{l} = |\nabla f| \cos \alpha

где $\alpha$ — угол между направлением $\vec{l}$ и градиентом.

9. Неявная функция

Если переменные связаны уравнением $$F(x, y, z) = 0$$ , то частные производные одной переменной по другим находятся так:

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}

10. Полный дифференциал второго порядка

Для гладкой функции $$f(x, y)$$ :

d^2 f = f_{xx} dx^2 + 2 f_{xy} dx dy + f_{yy} dy^2

11. Экстремумы функции нескольких переменных

Критические точки находятся из условий:

f_x = 0, \quad f_y = 0

Для определения характера точки используют матрицу Гессе:

H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}

Вычисляют определитель:

D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2

Если $$D > 0$$ и $f_{xx} > 0$ — минимум.
Если $$D > 0$$ и $f_{xx} < 0$ — максимум.
Если $$D < 0$$ — седловая точка.
Если $$D = 0$$ — тест не даёт результата.

12. Примеры вычисления

Пример 1

\[ f(x, y) = x^2 y + 3xy^2 \]

Частные производные первого порядка:

f_x = 2xy + 3y^2, \quad f_y = x^2 + 6xy

Второго порядка:

f_{xx} = 2y, \quad f_{yy} = 6x, \quad f_{xy} = 2x + 6y

Пример 2

f(x, y) = e^{xy} \sin y

Частные производные:

f_x = y e^{xy} \sin y

f_y = x e^{xy} \sin y + e^{xy} \cos y

Проверим смешанные производные:

f_{xy} = e^{xy} (\sin y + xy \cos y)

f_{yx} = e^{xy} (\sin y + xy \cos y)

→ $f_{xy} = f_{yx}$ , теорема Шварца выполняется.

Пример 3 — физическая интерпретация

$$f(x, y)$$ — температура в градусах.
Если $$f_x = 4$$ и $$f_y = -2$$ , это значит:

При движении вдоль оси $$x$$ температура растёт на 4 градуса на метр.
При движении вдоль оси $$y$$ падает на 2 градуса на метр.
Направление наибольшего роста температуры совпадает с направлением градиента $$(4, -2)$$ .

13. Частные производные функций трёх и более переменных

Для функции $$f(x, y, z)$$ (или $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ ) определяются частные производные по каждой переменной при фиксированных остальных.

Определение:

\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, \dots, x_n)}{\Delta x_i}

Градиент функции $$n$$ переменных:

\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)

Полный дифференциал:

df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i

Смешанные производные второго порядка могут быть записаны в виде матрицы Гессе (обобщённо для $$n$$ переменных):

H(f) = \begin{pmatrix} f_{x_1x_1} & f_{x_1x_2} & \dots & f_{x_1x_n} \\ f_{x_2x_1} & f_{x_2x_2} & \dots & f_{x_2x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{x_nx_1} & f_{x_nx_2} & \dots & f_{x_nx_n} \end{pmatrix}

Пример:

\[ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \]

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 2z, \quad \nabla f = (2x, 2y, 2z)

14. Метод множителей Лагранжа (оптимизация с ограничениями)

Используется для поиска экстремумов функции нескольких переменных при наличии ограничений.

Пусть нужно найти экстремумы $$f(x, y, z)$$ при условии $$g(x, y, z) = 0$$ .

Идея:
В точке экстремума градиент функции $$f$$ параллелен градиенту ограничения $$g$$ :

\nabla f = \lambda \nabla g

где $\lambda$ — множитель Лагранжа.

Система уравнений:

\begin{cases} f_x = \lambda g_x \\ f_y = \lambda g_y \\ f_z = \lambda g_z \\ g(x, y, z) = 0 \end{cases}

Пример:
Найти экстремумы $$f(x, y) = x^2 + y^2$$ при условии $$x + y = 1$$ .

Решаем:

\nabla f = (2x, 2y), \quad \nabla g = (1, 1)

\begin{cases} 2x = \lambda \\ 2y = \lambda \\ x + y = 1 \end{cases}

Из первых двух $$x = y$$ , подставляем в $x + y = 1 \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Ответ: минимум при $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , $f_{\min} = \frac{1}{2}$ .

15. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Для поверхности, заданной явно: $$z = f(x, y)$$ ,
касательная плоскость в точке $$(x_0, y_0, z_0)$$ определяется уравнением:

\[ z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) \]

Вектор нормали к поверхности:

\vec{n} = (-f_x(x_0, y_0), -f_y(x_0, y_0), 1)

Пример:

z = x^2 + y^2, \quad (x_0, y_0) = (1, 2)

f_x = 2x, \quad f_y = 2y

\[ z - (1^2 + 2^2) = 2(1)(x - 1) + 4(y - 2) \]

\Rightarrow z - 5 = 2(x - 1) + 4(y - 2)

Нормаль: $\vec{n} = (-2, -4, 1)$ .

16. Связь частных производных с тензорным исчислением

Частные производные и их комбинации образуют основу тензорного анализа — то есть описания законов, не зависящих от выбора координат.

Объект	Тип тензора	Ранг	Смысл
$$f(x, y, z)$$	Скаляр	0	Число, не зависящее от координат
$\nabla f$	Ковектор (тензор 1-го ранга)	1	Направление и скорость изменения функции
$$df$$	Дифференциал, 1-форма	1	Линейное отображение, связывающее приращения
$$H(f)$$	Тензор 2-го ранга (симметричный)	2	Изменение градиента, кривизна функции

Векторное поле:
Если $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ , то его градиент называется тензором Якоби:

\nabla \vec{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_x}{\partial x} & \frac{\partial F_x}{\partial y} & \frac{\partial F_x}{\partial z} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} & \frac{\partial F_y}{\partial y} & \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_z}{\partial x} & \frac{\partial F_z}{\partial y} & \frac{\partial F_z}{\partial z} \end{pmatrix}

Этот тензор описывает, как поле $\vec{F}$ изменяется в пространстве.
Его компоненты используются, например, при вычислении дивергенции и ротора.

Пример физической интерпретации:

$\vec{F}$ — поле скоростей жидкости,
$\nabla \vec{F}$ — тензор скоростей деформаций (описывает сжатие, растяжение, вихри).

Обобщённый вид полного дифференциала:

df = \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i

(суммирование ведётся по повторяющимся индексам, согласно правилу Эйнштейна).

Здесь $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ — ковариантные компоненты градиента, а $$dx^i$$ — контравариантные приращения координат.

Таким образом, вся теория частных производных естественно переходит в тензорное исчисление, где важна не форма записи, а геометрический смысл — инвариантность при любых преобразованиях координат.

17. Итог

Частная производная — это скорость изменения многомерной функции по одной из переменных.
С их помощью описываются касательные плоскости, наклоны, направления наибольшего роста.
Они используются в анализе экстремумов, в физике, экономике, инженерных расчётах и теории оптимизации.
Вектор градиента и матрица Гессе — ключевые инструменты в многомерном анализе.

Объект	Тип тензора	Ранг	Смысл
$\(f(x, y, z)\)$	Скаляр	0	Число, не зависящее от координат
$\nabla f$	Ковектор (тензор 1-го ранга)	1	Направление и скорость изменения функции
$\(df\)$	Дифференциал, 1-форма	1	Линейное отображение, связывающее приращения
$\(H(f)\)$	Тензор 2-го ранга (симметричный)	2	Изменение градиента, кривизна функции