Метод рационализации
Метод рационализации — это приём, где сложную функцию заменяют на равносильную по знаку.
Главное правило: функция должна быть строго монотонной (всегда растёт или всегда убывает).
Если функция возрастает, знак неравенства не меняется.
Если убывает — знак переворачивается.
Основная идея
Если $f$ — строго возрастающая функция, то:
\[
f(a) - f(b) > 0 \iff a - b > 0
\]
Если $f$ — строго убывающая функция, то:
\[
f(a) - f(b) > 0 \iff a - b < 0
\]
Частые рационализации
| Выражение | Замена | Условия | Пример |
|---|---|---|---|
| $a^x - a^y$ | $(a \vert 1)(x - y)$ | $a > 0, a \ne 1$ | Пример: $2^x - 2^3 > 0 \iff (2-1)(x-3)>0 \Rightarrow x>3$ |
| $a^x - 1$ | $(a \vert 1)x$ | $a > 0, a \ne 1$ | $0{,}5^x - 1 < 0 \iff (0{,}5-1)x < 0 \Rightarrow x>0$ |
| $a^x - b^x$ | $(a - b)x$ | $x > 0$ | $3^x - 5^x < 0 \iff (3-5)x < 0 \Rightarrow x>0$ |
| $\log_a b - \log_a c$ | $(a \vert 1)(b - c)$ | $a>0, a\ne1, b,c>0$ | $\log_2 x - \log_2 3 > 0 \iff (2-1)(x-3)>0 \Rightarrow x>3$ |
| $\log_a b - 1$ | $(a \vert 1)(b - a)$ | $a>0, a\ne1, b>0$ | $\log_3 x - 1 < 0 \iff (3-1)(x-3)<0 \Rightarrow x<3$ |
| $a - \sqrt{b}$ | $a^2 - b$ | $b\ge0$ | $x - \sqrt{9} \le 0 \iff x^2 - 9 \le 0$ |
| $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ | $a - b$ | $a,b \ge 0$ | $\sqrt{x} - \sqrt{5} > 0 \iff x - 5 > 0$ |
⚠️ Когда знак переворачивается
| Функция | Монотонность | Что со знаком |
|---|---|---|
| $a^x$ при $a>1$ | возрастает | знак сохраняется |
| $a^x$ при $0<a<1$ | убывает | меняем знак |
| $\log_a x$ при $a>1$ | возрастает | знак сохраняется |
| $\log_a x$ при $0<a<1$ | убывает | меняем знак |
| $\sqrt[n]{x}$ (n нечётное) | возрастает | знак сохраняется |
| $\sqrt[n]{x}$ (n чётное) | возрастает на $x\ge0$ | знак сохраняется |
Примеры
Пример 1:
\[
3^x - 27 \le 0
\]
Рационализируем:
\[
3^x - 3^3 \to (3 - 1)(x - 3)
\]
Получаем:
\[
(x - 3) \le 0 \Rightarrow x \le 3
\]
Пример 2:
\[
0{,}5^x - 4 > 0
\]
Основание $a=0{,}5<1$ — функция убывает, значит меняем знак:
\[
(0{,}5 - 1)(x - \log_{0{,}5}4) > 0 \Rightarrow (отрицательное)(x - (-2)) > 0
\]
Меняем знак:
\[
x < -2
\]
Пример 3:
\[
\log_{0{,}2}(x+1) - \log_{0{,}2}5 > 0
\]
Основание $0{,}2 < 1$ — убывает:
\[
(a - 1)(b - c) = (0{,}2 - 1)((x+1)-5)
\]
Меняем знак неравенства:
\[
x + 1 - 5 < 0 \Rightarrow x < 4
\]
Как определить, меняется ли знак неравенства
- Проверь монотонность функции:
- Возрастает → знак не меняется.
- Убывает → знак переворачивается.
- Проверь область определения:
- У логарифма: $a>0$, $a\ne1$, аргументы $>0$.
- У корня: подкоренное $\ge0$.
- У знаменателя: не равен нулю.
- Рационализируй и примени метод интервалов.