Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел $(a,b,c)$, удовлетворяющих следующему однородному квадратному диофантовому уравнению $a^2+b^2=c^2$.

При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты задолго до него.

Треугольник, длины сторон которого образуют пифагорову тройку, является прямоугольным и называется пифагоровым треугольником.

Можно найти универсальные формулы для вычисления третьего неизвестного числа. Например, если гипотенуза отличается на 1 от одного из катетов, то по теореме Пифагора:

Раскрыв скобки, получаем:

где $a$ — известный катет, $x$ — неизвестный катет, а $a+1$ — гипотенуза.

Если хочется, чтобы $x$ было целым числом (Пифагорова тройка), необходимо, чтобы $2a+1$ было полным квадратом:

Более общий случай — когда гипотенуза отличается от катета на $k$:

или наоборот, если известен $x$ и $k$:

Эти формулы позволяют быстро вычислять неизвестную сторону и даже находить целые тройки для любых $k$.

Примеры

Имеется 16 примитивных пифагоровых троек с c⩽100: