Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел \((a,b,c)\), удовлетворяющих следующему однородному квадратному диофантовому уравнению \(a^2+b^2=c^2\).

При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты задолго до него.

Треугольник, длины сторон которого образуют пифагорову тройку, является прямоугольным и называется пифагоровым треугольником.

Можно найти универсальные формулы для вычисления третьего неизвестного числа. Например, если гипотенуза отличается на 1 от одного из катетов, то по теореме Пифагора:

Раскрыв скобки, получаем:

где \(a\) — известный катет, \(x\) — неизвестный катет, а \(a+1\) — гипотенуза.

Если хочется, чтобы \(x\) было целым числом (Пифагорова тройка), необходимо, чтобы \(2a+1\) было полным квадратом:

Более общий случай — когда гипотенуза отличается от катета на \(k\):

или наоборот, если известен \(x\) и \(k\):

Эти формулы позволяют быстро вычислять неизвестную сторону и даже находить целые тройки для любых \(k\).

Примеры

Имеется 16 примитивных пифагоровых троек с c⩽100: