Система уравнений

1. Что такое система уравнений

Система уравнений — это набор уравнений, которые нужно выполнить одновременно.
Решение системы — это набор значений переменных, удовлетворяющий всем уравнениям сразу.

2. Что значит “равносильные системы”

Две системы равносильны, если у них одно и то же множество решений.
Равносильные преобразования:

• прибавить одно уравнение к другому (или вычесть);
• умножить/разделить уравнение на ненулевое число;
• заменить уравнение его линейной комбинацией с другими;
• подставить выражение одной переменной из одного уравнения в другое.

Неравносильные (дают следствия):

• отбросить одно из уравнений;
• умножить на выражение, которое может быть нулём;
• разделить на переменную без проверки, что она ≠ 0.

3. Основные методы решения систем

Метод подстановки

1. Выразить из одного уравнения одну переменную.
2. Подставить это выражение во второе уравнение.
3. Решить получившееся уравнение.
4. Найти остальные переменные.

Пример:

→ из первого: (a = 2020 - bc)
→ подставляем во второе.

Метод сложения (вычитания)

Умножить одно или оба уравнения на необходимые коэффициенты, чтобы при сложении (или вычитании) исчезла одна переменная.

Равносильность сохраняется, если:

• количество уравнений не изменилось;
• ты не делил на выражение, которое может быть 0.

Метод сравнения

1. Из каждого уравнения выразить одну и ту же переменную.
2. Приравняй выражения.
3. Реши получившееся уравнение.

Графический метод

Каждое уравнение — это кривая (или прямая) на плоскости.
Решения системы — точки пересечения этих кривых.

4. Равносильные преобразования (кратко)

| Действие | Равносильно? | Комментарий |
|———–|—————|————–|
| Прибавить одно уравнение к другому | ✅ | сохраняет решения |
| Умножить на число ≠ 0 | ✅ | решения не меняются |
| Разделить на переменную | ⚠️ | нужно проверить, что ≠ 0 |
| Выбросить одно уравнение | ❌ | теряешь часть ограничений |
| Добавить новое уравнение | ❌ | можешь потерять часть решений |

5. Проверка решений

1. Подставить найденные значения во все исходные уравнения.
2. Убедиться, что выполняются все.
3. Если хотя бы одно не сходится — значит, где-то нарушена равносильность.

   6. Типичные ошибки

   • Деление на ноль (теряются или появляются ложные решения).
   • Отбрасывание уравнений.
   • Замена системы на одно уравнение.
   • Ошибки при раскрытии скобок (самое тупое, но частое).

7. Полезные советы

• Сначала оценить: линейная ли система, квадратная, или что-то сложнее.
• Чем проще форма уравнений — тем надёжнее метод подстановки.
• Для симметричных выражений иногда помогает введение новой переменной.
• Всегда оставлять столько же уравнений, сколько переменных.