Шпаргалки / Математика / Школа / Геометрия

Тригонометрия

Радианы

1 радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности. Полный круг = $360\degree = 2\pi$ радиан.

\[ 180\degree = \pi \ \text{рад}, \quad 1\ \text{рад} \approx 57.3\degree \]

Геометрическое понимание (тригонометрическая окружность)

Все значения тригонометрических функций можно понимать через единичную окружность:

  • точка на окружности имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$,
  • синус — ордината точки, косинус — абсцисса,
  • тангенс и котангенс — это соотношения, выражаемые через касательные к окружности.

Формулы приведения можно воспринимать как “переход по четвертям”:

  • при повороте угла проверяем, какая координата у точки и какой знак у функции,
  • из этого следует, как меняется синус/косинус/тангенс без заучивания громоздких формул.

    Прямоугольный треугольник

Косинусом угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.

\[ \cos\alpha=\frac{прилежащий\spaceкатет}{гипотенуза} \]

Синусом угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.

\[ \sin\alpha=\frac{противолежащий\spaceкатет}{гипотенуза} \]

Тангенсом угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему.

\[ \tan\alpha=\frac{противолежащий\spaceкатет}{прилежащий\spaceкатет} \]

Котангенсом угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему.

\[ \tan\alpha=\frac{прилежащий\spaceкатет}{противолежащий\spaceкатет} \]

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от градусной меры угла и не зависят от расположения и размеров прямоугольного треугольника.

Косинус одного острого угла прямоугольного треугольника равен синусу другого острого угла (оба эти угла в сумме образуют 90 градусов).

\[ \cos \alpha = \sin \beta \]

Основные тригонометрические тождества

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
\[ \tan \alpha + \cot \alpha = 1 \]
\[ \frac{1}{\cos^2\alpha}=\tan^2\alpha+1, \quad \frac{1}{\sin^2\alpha}=\cot^2\alpha+1 \]
\[ \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}, \quad \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} \]

Периодичность

\[ \sin(\alpha+2\pi k)=\sin{x},\quad k\in Z \]
\[ \cos(\alpha+2\pi k)=\cos{x},\quad k\in Z \]
\[ \tan(\alpha+\pi k)=\tan{x},\quad k\in Z \]
\[ \cot(\alpha+\pi k)=\cot{x},\quad k\in Z \]

Четность, нечетность

\[ \sin -\alpha=-\sin \alpha \]
\[ \cos -\alpha=\cos \alpha \]
\[ \tan -\alpha=-\tan \alpha \]
\[ \cot -\alpha=-\cot \alpha \]

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла — это частный случай формул суммы и разности аргументов.

\[ \sin 2\alpha=2\sin \alpha\cdot\cos \alpha \]
\[ \cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha \]
\[ \cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1 \]
\[ \cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha \]
\[ \tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha} \]
\[ \cot 2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha} \]

Формулы приведения

Формулы приведения сводят вычисление значений тригонометрических функций любого аргумента к вычислению тригонометрических функций для аргумента из промежутка $[0;\frac{\pi}{2}]$.

Алгоритм использования формул приведения

  1. Определить четверть и знак в ней приводимой функции.
  2. Поставить этот знак перед приведенной к углу $\alpha$ функцией.
  3. Для аргументов $(\frac{\pi}{2}\pm\alpha)$, $(\frac{3\pi}{2}\pm\alpha)$ функция меняется на кофункцию, то есть синус на косинус, и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот. Для аргументов $(\pi\pm\alpha)$, $(2\pi\pm\alpha)$ функция не меняется.

Мнемоническое правило для запоминания формул приведения

  1. Меняется ли функция на кофункцию? Если в формуле присутствуют углы π/2 или 3π/2 — это углы вертикальной оси, нужно кивнуть головой по вертикали и ответить: «Да». Если в формуле есть углы горизонтальной оси π или 2π, то нужно кивнуть головой по горизонтали и ответить: «Нет».
  2. Какой знак надо поставить в правой части формулы? Знак определяется по левой части. Нужно посмотреть, в какую четверть попадает угол, и вспомнить, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.
  $-\alpha$ $90\degree-\alpha$ $90\degree+\alpha$ $180\degree-\alpha$ $180\degree+\alpha$ $270\degree-\alpha$ $270\degree+\alpha$ $360\degree-\alpha$ $360\degree+\alpha$
    $\frac{\pi}{2}-\alpha$ $\frac{\pi}{2}+\alpha$ $\pi-\alpha$ $\pi+\alpha$ $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ $\frac{3\pi}{2}+\alpha$ $2\pi-\alpha$ $2\pi+\alpha$
$\sin$ $-\sin\alpha$ $+\cos\alpha$ $+\cos\alpha$ $+\sin\alpha$ $-\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $-\cos\alpha$ $-\sin\alpha$ $+\sin\alpha$
$\cos$ $+\cos\alpha$ $+\sin\alpha$ $-\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $-\cos\alpha$ $-\sin\alpha$ $+\sin\alpha$ $+\cos\alpha$ $+\cos\alpha$
$\tan$ $-\tan\alpha$ $+\cot\alpha$ $-\cot\alpha$ $-\tan\alpha$ $+\tan\alpha$ $+\cot\alpha$ $-\cot\alpha$ $-\tan\alpha$ $+\tan\alpha$
$\cot$ $-\cot\alpha$ $+\tan\alpha$ $-\tan\alpha$ $-\cot\alpha$ $+\cot\alpha$ $+\tan\alpha$ $-\tan\alpha$ $-\cot\alpha$ $+\cot\alpha$
                   

Формулы суммы и разности аргументов

\[ \sin (\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta \]
\[ \cos (\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta \]
\[ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}, \quad \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta} \]
\[ \cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cdot\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}, \quad \cot(\alpha-\beta)=\frac{\cot\alpha\cdot\cot\beta+1}{\cot\alpha-\cot\beta} \]

Формулы суммы и разности

\[ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \]
\[ \sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \]
\[ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \]
\[ \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \]
\[ \tan\alpha+\tan\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta} \]
\[ \tan\alpha-\tan\beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta} \]
\[ \cot\alpha+\cot\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta} \]
\[ \cot\alpha-\cot\beta=\frac{\sin(\beta-\alpha)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta} \]

Формулы преобразования произведения в сумму

\[ \sin\alpha\cdot\sin\beta=\frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)) \]
\[ \cos\alpha\cdot\cos\beta=\frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)) \]
\[ \sin\alpha\cdot\cos\beta=\frac{1}{2}(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)) \]

Формулы понижения степени

\[ \sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\cos2\alpha) \]
\[ \cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos2\alpha) \]
\[ \tan^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha} \]
\[ \cot^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{1-\cos2\alpha} \]

Формулы половинного аргумента

\[ \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} \]
\[ \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \]
\[ \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} \]
\[ \cot\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} \]

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру (двум радиусам) описанной окружности.

\[ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R \]

Теорема косинусов

Квадрат сторо ны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \]

Теорема тангенсов

Отношение разности двух сторон треугольника к их сумме
равно отношению тангенса полуразности противоположных углов к тангенсу их полусуммы.

Формула:

\[ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}} \]

Эквивалентные формы

Через угол $C$:

\[ \frac{a-b}{a+b} = \tan\frac{A-B}{2} \cdot \tan\frac{C}{2} \]

Отсюда:

\[ \tan\frac{A-B}{2} = \frac{a-b}{a+b} \cot\frac{C}{2} \]

Доказательство (кратко)

По теореме синусов:

\[ \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B} \]

Тогда:

\[ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B} \]
\[ = \frac{2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}}{2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}} = \frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}} \]

Когда применять

  • Когда известны две стороны и угол между ними.
  • Когда нужно найти или сравнить углы.
  • Когда удобнее работать с полусуммами и полуразностями углов.

Пример

Пусть $a = 7$, $b = 3$, $\tan\frac{C}{2} = 1$.

\[ \frac{a-b}{a+b} = \frac{7-3}{7+3} = 0.4 \]
\[ 0.4 = \tan\frac{A-B}{2} \cdot 1 \Rightarrow \tan\frac{A-B}{2} = 0.4 \]

Кратко для запоминания

  1. $\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}$
  2. $\frac{a-b}{a+b} = \tan\frac{A-B}{2}\tan\frac{C}{2}$
  3. $Если a=b$ → $A=B$

Таблица углов

| | $30\degree$ | $45\degree$ | $60\degree$ | $90\degree$ | | ————– | ——————– | ——————– | ——————– | —————– | | | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | | $\sin{\alpha}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 | | $\cos{\alpha}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 | | $\tan{\alpha}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | $-$ | | $\cot{\alpha}$ | $\sqrt{3}$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 0 |

Табличные углы через простые треугольники

Все значения для $30\degree, 45\degree, 60\degree$ можно получить, не запоминая таблицу.

  1. Равнобедренный прямоугольный треугольник ($45\degree$–$45\degree$–$90\degree$):
    единичные катеты равны, гипотенуза $\sqrt{2}$.
\[ \sin 45\degree = \cos 45\degree = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
  1. Треугольник $30\degree$–$60\degree$–$90\degree$:
    катеты 1 и $\sqrt{3}$, гипотенуза 2.
\[ \sin 30\degree = \frac{1}{2}, \quad \cos 30\degree = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \sin 60\degree = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60\degree = \frac{1}{2} \]

Аркфункции

Аркфункции — это обратные функции к тригонометрическим.
Позволяют найти угол по известному значению синуса, косинуса или тангенса и т.д.

Функция Определение Область определения Область значений
$\arcsin(x)$ угол, синус которого равен $x$ $[-1, 1]$ $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$
$\arccos(x)$ угол, косинус которого равен $x$ $[-1, 1]$ $[0, \pi]$
$\arctan(x)$ угол, тангенс которого равен $x$ $(-\infty, \infty)$ $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$
$\arccot(x)$ угол, котангенс которого равен $x$ $(-\infty, \infty)$ $(0, \pi)$
$\arcsec(x)$ угол, секанс которого равен $x$ $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$
$\arccsc(x)$ угол, косеканс которого равен $x$ $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ $\left[-\dfrac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]$