Шпаргалки / Физика / Механика

18. Всемирное тяготение и орбиты

Всемирное тяготение и орбиты

Уровень: база → первый курс

Закон всемирного тяготения

Для точечных или сферически-симметричных тел:

\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}. \]

Сила направлена вдоль линии центров и является притягивающей.

\[ G\approx6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{Н·м}^2/\text{кг}^2. \]

Гравитационное поле

Напряжённость или ускорение свободного падения:

\[ \vec g=\frac{\vec F}{m}. \]

Для сферической массы:

\[ g(r)=\frac{GM}{r^2}. \]

Вблизи поверхности Земли \(g\approx9{,}81\) м/с², но зависит от широты, высоты и вращения Земли.

Потенциал и энергия

При нуле на бесконечности:

\[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r}, \]
\[ U=m\Phi=-\frac{GMm}{r}. \]

Связь:

\[ \vec g=-\nabla\Phi. \]

Теорема о сферических слоях

  • Вне сферически-симметричного тела поле такое же, как от точечной массы в центре.
  • Внутри тонкой однородной сферической оболочки поле равно нулю.

Внутри однородного шара:

\[ g(r)=\frac{GM}{R^3}r. \]

Поле линейно растёт от центра до поверхности.

Круговая орбита

Гравитация даёт центростремительное ускорение:

\[ \frac{mv^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}. \]
\[ v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

Период:

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}. \]

Это частный случай третьего закона Кеплера:

\[ T^2\propto a^3. \]

Энергия круговой орбиты

\[ E_k=\frac{GMm}{2r}, \]
\[ U=-\frac{GMm}{r}, \]
\[ E=-\frac{GMm}{2r}. \]

Связанная орбита имеет отрицательную полную энергию.

Скорость убегания

Минимальная скорость, чтобы достичь бесконечности с нулевой конечной скоростью:

\[ \frac{mv_{\text{esc}}^2}{2}-\frac{GMm}{r}=0. \]
\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} =\sqrt2\,v_{\text{orb}}. \]

Законы Кеплера

  1. Планеты движутся по эллипсам, Солнце в одном фокусе.
  2. Радиус-вектор заметает равные площади за равные времена.
  3. \(T^2\propto a^3\) для тел вокруг одного центра.

Второй закон следует из сохранения углового момента.

Пример 1. Поле на высоте

Высота \(h=R\) над поверхностью Земли, значит расстояние от центра \(2R\):

\[ \frac{g_h}{g_0}=\frac{R^2}{(2R)^2}=\frac14. \]

Пример 2. Первая космическая

У поверхности:

\[ v_1=\sqrt{gR}. \]

Для Земли:

\[ v_1\approx7{,}9\ \text{км/с}. \]

Скорость убегания:

\[ v_2\approx11{,}2\ \text{км/с}. \]

Пример 3. Геостационарная орбита

Условия:

  • круговая орбита;
  • плоскость экватора;
  • движение в сторону вращения Земли;
  • период равен звёздным суткам.

Радиус находится из

\[ r=\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}. \]

Высота — \(r-R_\oplus\), около \(35{,}8\) тыс. км.

Приливы

Приливные силы связаны не с самим значением поля, а с его неоднородностью — градиентом. Ближняя и дальняя части Земли ускоряются Луной немного по-разному.

Ошибки

  • Подставлять высоту \(h\) вместо расстояния от центра \(r=R+h\).
  • Считать невесомость отсутствием гравитации.
  • Использовать \(mgh\) на больших высотах.
  • Считать круговую орбиту состоянием без ускорения.

Самопроверка

  1. Почему масса спутника сокращается в формуле орбитальной скорости?
  2. Какой знак полной энергии у связанной орбиты?
  3. Почему космонавты невесомы?
Ответы 1. И гравитационная, и инертная массы пропорциональны массе спутника. 2. Отрицательный. 3. Они и корабль совместно свободно падают.