Теоремы связи
Векторное исчисление строится вокруг связи между интегралами разного “размера”:
- Криволинейный интеграл (по пути/границе)
- Поверхностный интеграл (по поверхности)
- Объёмный интеграл (по объёму)
Эти теоремы показывают, что интеграл по границе области связан с интегралом по самой области.
Формула Грина
\[
\oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy
\]
Смысл:
- $L$ — замкнутый контур на плоскости, $D$ — область внутри контура
- Левая часть: работа векторного поля $(P, Q)$ вдоль контура
- Правая часть: двойной интеграл “внутри” контура, разность частных производных
- Идея: циркуляция поля по границе равна сумме “вихрей” внутри области.
Применение:
- Вычисление площади через криволинейный интеграл
- Проверка потока и циркуляции поля в плоскости
- Механика, электростатика, гидродинамика
Формула Гаусса (дивергенции)
\[
\iiint_V \nabla\cdot\vec{F}\,dV = \iint_S \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS
\]
Смысл:
- $V$ — объём, $S$ — поверхность, его граница
- Левый интеграл: интеграл дивергенции по всему объёму — сумма “источников/стоков” внутри
- Правый интеграл: поток векторного поля через поверхность
- Идея: суммарный поток через поверхность равен сумме источников внутри объёма
Применение:
- Электростатика: поток электрического поля через замкнутую поверхность равен заряду внутри (закон Гаусса)
- Гидродинамика: количество жидкости, проходящее через поверхность, зависит от источников/стоков внутри
- Механика, термодинамика, поля сил
Формула Стокса
\[
\oint_L \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS
\]
Смысл:
- $L$ — замкнутый контур, $S$ — поверхность с границей $L$
- Левая часть: циркуляция поля вдоль контура
- Правая часть: поток ротора через поверхность
- Идея: работа векторного поля по контуру равна сумме “вихрей” на поверхности, ограниченной этим контуром
Применение:
- Магнитные и вихревые поля
- Механика жидкости и газа: вращение жидкости вокруг контуров
- Упрощение вычислений криволинейных интегралов через поверхность
Общая идея всех теорем
-
Связь “граница ↔ область”:
Интеграл по границе (кривой/поверхности) равен интегралу “внутри” (площади/объёма). - Физический смысл:
- Грин: циркуляция на плоскости ↔ вихри внутри
- Гаусс: поток через поверхность ↔ источники внутри
- Стокс: циркуляция вдоль контура ↔ вращение поля на поверхности
- Зачем это нужно:
- Позволяет заменить сложный интеграл по границе простым интегралом по области
- Связывает локальные свойства поля (производные) с глобальными эффектами (интеграл)
- Широко применяется в физике, инженерии, теории полей и численных методах