Шпаргалки / Физика / Механика

14. Импульс, центр масс и столкновения

Импульс, центр масс и столкновения

Уровень: база → первый курс

Импульс тела

\[ \vec p=m\vec v. \]

Единица:

\[ \text{кг·м/с}. \]

Импульс — вектор и зависит от системы отсчёта.

Импульс силы

\[ \vec J=\int_{t_1}^{t_2}\vec F\,dt =\Delta\vec p. \]

Для постоянной силы:

\[ \vec J=\vec F\Delta t. \]

Площадь под графиком \(F(t)\) даёт импульс силы.

Закон сохранения импульса

Для системы:

\[ \frac{d\vec P}{dt}=\sum\vec F_{\text{внеш}}, \]

где

\[ \vec P=\sum_i\vec p_i. \]

Если внешний импульс равен нулю:

\[ \vec P=\text{const}. \]

Система может быть замкнута только по отдельной оси. Например, при столкновении на столе вертикальные внешние силы велики, но горизонтальный импульс может сохраняться.

Центр масс

\[ \vec R_C=\frac{\sum m_i\vec r_i}{M}, \]
\[ M=\sum m_i. \]

Скорость центра масс:

\[ \vec V_C=\frac{\vec P}{M}. \]

Движение центра масс определяется только внешними силами:

\[ M\vec a_C=\sum\vec F_{\text{внеш}}. \]

Внутренние силы не изменяют движение центра масс всей системы.

Столкновения

Абсолютно неупругое

Тела сцепляются:

\[ m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=(m_1+m_2)\vec v. \]

Кинетическая энергия не сохраняется.

Упругое

Сохраняются импульс и кинетическая энергия:

\[ \sum\vec p_{\text{до}}=\sum\vec p_{\text{после}}, \]
\[ \sum E_{k,\text{до}}=\sum E_{k,\text{после}}. \]

Коэффициент восстановления

В одном измерении:

\[ e=\frac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2} \]

при соответствующем выборе направлений как отношение скоростей разлёта и сближения.

  • \(e=1\) — идеально упругое;
  • \(e=0\) — абсолютно неупругое.

Пример 1. Сцепление тележек

\(m_1=2\) кг, \(v_1=3\) м/с, \(m_2=1\) кг, \(v_2=0\):

\[ v=\frac{2\cdot3}{3}=2\ \text{м/с}. \]

До:

\[ E_{k1}=9\ \text{Дж}. \]

После:

\[ E_k=\frac{3\cdot4}{2}=6\ \text{Дж}. \]

\(3\) Дж перешли во внутреннюю энергию и деформацию.

Пример 2. Отдача

Человек \(60\) кг бросает груз \(3\) кг со скоростью \(8\) м/с относительно льда:

\[ 60v+3\cdot8=0, \]
\[ v=-0{,}4\ \text{м/с}. \]

Пример 3. Средняя сила удара

Мяч \(0{,}2\) кг меняет скорость с \(+10\) до \(-6\) м/с за \(0{,}04\) с:

\[ \Delta p=0{,}2(-16)=-3{,}2\ \text{кг·м/с}. \]
\[ F_{\text{ср}}=-80\ \text{Н}. \]

Пример 4. Упругое столкновение равных масс

Если первая масса движется, вторая покоится, а удар одномерный и идеально упругий, тела обмениваются скоростями.

Это следует из совместного сохранения импульса и энергии.

Баллистический маятник

Пуля застревает в бруске: во время удара сохраняется импульс, но не энергия. После удара система поднимается: на подъёме сохраняется механическая энергия.

Нельзя применять один закон энергии через неупругий удар.

Ошибки

  • Сохранять кинетическую энергию при любом столкновении.
  • Складывать модули импульсов.
  • Считать систему замкнутой без проверки внешнего импульса.
  • Использовать скорость пули относительно оружия как скорость относительно земли без анализа.

Самопроверка

  1. Что определяет движение центра масс?
  2. Что сохраняется при абсолютно неупругом ударе?
  3. Может ли кинетическая энергия системы увеличиться при взрыве?
Ответы 1. Сумма внешних сил. 2. Импульс замкнутой системы, но не кинетическая энергия. 3. Да, за счёт внутренней энергии.