Шпаргалки / Физика / Квантовая физика

03. Одномерные квантовые задачи

Одномерные квантовые задачи

Уровень: университет

Стационарное уравнение

Для потенциала \(V(x)\):

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} +V(x)\psi=E\psi. \]

Решение определяется потенциалом, граничными условиями и нормируемостью.

Свободная частица

\(V=0\):

\[ \psi=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}. \]
\[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}, \]
\[ p=\hbar k. \]

Плоская волна имеет точный импульс и полностью неопределённую координату; физические локализованные состояния строят волновыми пакетами.

Бесконечная яма

\[ V=0, \quad 0<x<L, \]

и \(V=\infty\) снаружи.

Границы:

\[ \psi(0)=\psi(L)=0. \]

Состояния:

\[ \psi_n=\sqrt{\frac2L}\sin\frac{n\pi x}{L}. \]

Энергии:

\[ E_n=\frac{\pi^2\hbar^2n^2}{2mL^2}, \quad n=1,2,3,\ldots \]

\(n=0\) не даёт нормированного ненулевого состояния.

Конечная яма

Вне ямы связанное состояние экспоненциально затухает, а не обрывается. Энергий конечное число. Волновая функция и её производная обычно непрерывны на конечном скачке потенциала.

Барьер и туннелирование

При \(E<V_0\) классически частица не проходит. Квантово волна затухает внутри барьера, но имеет ненулевую амплитуду после него.

Грубая зависимость:

\[ T\sim e^{-2\kappa a}, \]
\[ \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}. \]

Туннелирование резко зависит от ширины, массы и разности энергий.

Применения:

  • альфа-распад;
  • туннельный микроскоп;
  • туннельные диоды;
  • ядерный синтез в звёздах.

Гармонический осциллятор

\[ V(x)=\frac12m\omega^2x^2. \]

Энергии:

\[ E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right). \]

Есть нулевая энергия:

\[ E_0=\frac12\hbar\omega. \]

Частица не может одновременно иметь точно \(x=0\) и \(p=0\) из-за неопределённости.

Операторы рождения и уничтожения

\[ \hat H=\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\frac12\right). \]
\[ \hat a|n\rangle=\sqrt n|n-1\rangle, \]
\[ \hat a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle. \]

Пример 1. Масштаб ямы

Если длину ямы уменьшить вдвое:

\[ E_n\propto\frac1{L^2}, \]

энергии увеличатся в 4 раза.

Пример 2. Переход

В яме:

\[ E_2-E_1=3E_1. \]

Частота испущенного фотона:

\[ \nu=\frac{E_2-E_1}{h}. \]

Пример 3. Туннелирование

Удвоение ширины барьера \(a\) меняет экспоненту вдвое, поэтому коэффициент прохождения уменьшается примерно как квадрат прежнего экспоненциального фактора. Это не линейный эффект.

Самопроверка

  1. Почему основная энергия ямы ненулевая?
  2. Что происходит с волновой функцией в классически запрещённой области?
  3. Как зависят уровни гармонического осциллятора от \(n\)?
Ответы 1. Граничные условия и неопределённость не позволяют состоянию покоя с нулевой энергией. 2. Обычно экспоненциально затухает, но не обязана быть нулевой. 3. Равномерно: разность соседних уровней \(\hbar\omega\).