1. Матрица

Определение:
Матрица — это прямоугольная таблица чисел размером \(m \times n\), где \(m\) — строки, \(n\) — столбцы. Каждый элемент \(a_{ij}\) — число, находящееся на пересечении i-й строки и j-го столбца.
Строки можно воспринимать как векторы, которые задают направления в \(n\)-мерном пространстве, столбцы — как направления в \(m\)-мерном пространстве.

Зачем нужна:
Матрица — универсальный способ представления данных, коэффициентов систем линейных уравнений, линейных преобразований, преобразований графики, физики и робототехники. С её помощью можно описывать повороты, сжатия, растяжения, комбинации векторов.

Операции с матрицами:

1. Сложение/вычитание — поэлементно, важно для объединения или сравнения данных.
   Пример:
   \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} \Rightarrow A+B=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)

2. Умножение на число — масштабирование всей матрицы.
   Пример: \(2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}\)

3. Умножение матриц — строки первой на столбцы второй. Не коммутативно.
   Пример:
   \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \Rightarrow AB=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\)

4. Транспонирование — строки ↔ столбцы. Проверка симметрии: \(A=A^T\).
   Пример:
   \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \Rightarrow A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)

Особые матрицы:

• Единичная \(I\) — диагональ 1, остальные 0, нейтральный элемент умножения
• Нулевая \(0\) — все элементы 0
• Диагональная — только диагональ ≠0, используется для растяжения/сжатия вдоль осей
• Верхняя/нижняя треугольная — нули выше или ниже диагонали, удобно для Гаусса
• Симметричная — \(A=A^T\), отражение через главную диагональ
• Ортогональная — \(A^TA=I\), повороты без искажения длины

Геометрическая интуиция: строки/столбцы = стрелки, которые образуют направление и длину. Операции с матрицами — это, грубо говоря, движение и растяжение этих стрелок.

2. Определитель

Определение:
Определитель — число, которое показывает, насколько “объёмно” строки или столбцы матрицы занимают пространство.

Почему важно:

• Проверяет линейную зависимость: \(\det(A)=0\) → строки/столбцы зависимы → “сжаты” в плоскость или линию.
• Геометрическая интерпретация: абсолютное значение = площадь (2D) или объём (3D) параллелограмма/параллелепипеда.

Методы нахождения:

1. 2×2: \(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\)
   Пример: \(\det\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}=0\) (строки лежат на одной прямой)
2. 3×3 (Саррюс):
   \(\det\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\)
   Пример: \(\det\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}=-79\)
3. Разложение по строке/столбцу (миноры и алгебраические дополнения):
   \(\det(A)=\sum_j a_{ij} A_{ij}, \quad A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij}\)

3. Миноры и алгебраические дополнения

Минор \(M_{ij}\) — определитель матрицы без i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическое дополнение \(A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij}\)

Почему важно:

• Шаг к обратной матрице
• Используется в формуле Крамера

Пример:
\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)

• \(M_{11}=\det\begin{pmatrix}5&6\\8&9\end{pmatrix}=-3\)
• \(A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=-3\)

4. Обратная матрица

Определение:
\(A^{-1}\) — матрица, которая при умножении на \(A\) даёт единичную: \(AA^{-1}=I\)

Методы:

1. Через миноры и алгебраические дополнения: \(A^{-1}=(A^*)^T/\det(A)\)
2. Метод Гаусса: составляем расширенную матрицу \([A|I]\), приводим левую часть к \(I\), правая = \(A^{-1}\)

Пример:
\(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\)

5. Ранг матрицы

Определение:
Ранг = максимальное число линейно независимых строк или столбцов.

Зачем нужно:

• Показывает размерность пространства, которое реально задают строки/столбцы
• Связь с объёмом: если ранг < размерность → объём=0, “плоское” пространство

Методы:

1. Метод Гаусса: приводим к ступенчатой форме, считаем ненулевые строки
   Пример:
   \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&-1&-2\end{pmatrix}\) → ранг=2
2. Миноры: ищем наибольший ненулевой минор

6. Линейная зависимость

Определение:
Векторы \(v_1,\dots,v_n\) линейно зависимы, если один из них можно выразить через другие: \(\exists c_i\neq0: \sum c_i v_i=0\)

Почему важно:

• Зависимый вектор не добавляет новое направление
• Геометрически: два вектора на одной прямой, три на одной плоскости → зависимы

Методы:

• Векторы в матрицу → считаем ранг → сравниваем с количеством векторов

Пример:
\(v_1=(1,2,3), v_2=(2,4,6), v_3=(1,1,1)\)
\(A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&1\\3&6&1\end{pmatrix}\) → ранг=\(2<3\) → зависимы

7. Базис

Определение:
Набор линейно независимых векторов, который порождает всё пространство.

Связь с рангом:

• Число векторов в базисе = ранг матрицы
• Геометрически: минимальный набор стрелок, который задаёт все направления пространства

Методы:

1. Ступенчатая форма → ведущие столбцы → базис
2. Проверка линейных комбинаций → независимые векторы → базис

Пример:
\(v_1=(1,2,0), v_2=(2,4,0), v_3=(0,1,1)\)

• Ведущие столбцы → \(v_1, v_3\) → базис
• Ранг=2 → плоское пространство в 3D

8. Собственные значения и векторы

Определение:
\(A\vec{v}=\lambda \vec{v}, \vec{v}\neq0\)

• \(\lambda\) — собственное значение
• \(\vec{v}\) — собственный вектор

Методы:

• Характеристический многочлен: \(\det(A-\lambda I)=0\)
• Решаем для \(\lambda\), затем находим \(\vec{v}\)

Пример:
\(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\) → \(\lambda_1=2,\lambda_2=3\), векторы \((1,0),(0,1)\)

9. Преобразования и геометрия

Определение:
Матрица действует на вектор, меняя длину, направление и положение.

Примеры:

1. Вращение 2D: \(R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\)
   • \((1,0)\) на 90° → \((0,1)\)
2. Масштабирование: \(S=\begin{pmatrix}k_x&0\\0&k_y\end{pmatrix}\)
   • \((2,3)\), \(k_x=2,k_y=0.5\) → \((4,1.5)\)
3. Отражение: \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)
   • \((3,2)\) → \((3,-2)\)

10. Геометрический смысл и объём

• Ранг = число независимых векторов → размерность пространства
• Объём параллелепипеда = \(|\det(A)|\)
• Ранг < размерность → объём=0 → плоское пространство
• Ранг = размерность → объём>0

Примеры:

• 3D, 3 независимых вектора → объём>0
• 3D, 2 независимых → объём=0
• 2D: \(v_1=(2,0), v_2=(0,3)\) → площадь=6

11. Практические советы

• Ранг → ступенчатая форма → считаем ненулевые строки
• Линейная зависимость → если ранг<число векторов → зависимы
• Базис → выбираем только независимые векторы
• Объём → детерминант → ненулевой → объём есть
• Минор/алгебраическое дополнение → шаг к обратной и Крамеру
• Визуально: строки/столбцы = стрелки → комбинации = движение → объём = пространство, которое они занимают