Шпаргалки / Физика / Электродинамика

06. Соединения и правила Кирхгофа

Соединения и правила Кирхгофа

Уровень: база → первый курс

Узел, ветвь, контур

  • узел — точка соединения трёх и более ветвей;
  • ветвь — участок между узлами с одним и тем же током;
  • контур — замкнутый путь по схеме.

Геометрическое расположение на рисунке не определяет тип соединения. Определяют узлы.

Последовательное соединение резисторов

Ток одинаков:

\[ I=I_1=I_2=\ldots \]

Напряжения складываются:

\[ U=\sum_iU_i. \]
\[ R_\Sigma=\sum_iR_i. \]

Эквивалентное сопротивление больше каждого отдельного.

Параллельное соединение

Напряжение одинаково:

\[ U=U_1=U_2=\ldots \]

Токи складываются:

\[ I=\sum_iI_i. \]
\[ \frac1{R_\Sigma}=\sum_i\frac1{R_i}. \]

Для двух:

\[ R_\Sigma=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}. \]

Результат меньше меньшего сопротивления.

Первое правило Кирхгофа

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

\[ \sum I_k=0. \]

Это локальное сохранение заряда.

Можно считать входящие положительными, выходящие отрицательными, или наоборот.

Второе правило Кирхгофа

Для замкнутого контура:

\[ \sum\mathcal E_k-\sum I_kR_k=0. \]

Это энергетический баланс.

Знаки

При обходе:

  • через резистор по току потенциал уменьшается на \(IR\);
  • против тока увеличивается на \(IR\);
  • через источник от минуса к плюсу потенциал увеличивается на \(\mathcal E\);
  • от плюса к минусу уменьшается.

Если найденный ток отрицателен, реальное направление противоположно выбранному. Это не ошибка.

Делитель напряжения

Последовательные резисторы:

\[ U_2=U\frac{R_2}{R_1+R_2}. \]

Формула верна для ненагруженного или учтённо нагруженного делителя. Подключённая нагрузка меняет эквивалент нижней ветви.

Делитель тока

Для двух параллельных резисторов:

\[ I_1=I\frac{R_2}{R_1+R_2}, \]
\[ I_2=I\frac{R_1}{R_1+R_2}. \]

Больший ток идёт через меньшее сопротивление.

Мост Уитстона

Условие баланса:

\[ \frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}. \]

Ток через диагональный прибор равен нулю.

Пример 1. Последовательно

\(R_1=4\) Ом, \(R_2=6\) Ом, \(U=20\) В:

\[ R_\Sigma=10\ \text{Ом}, \]
\[ I=2\ \text{А}. \]
\[ U_1=8\ \text{В},\qquad U_2=12\ \text{В}. \]

Пример 2. Параллельно

\(6\) Ом и \(3\) Ом на \(12\) В:

\[ R_\Sigma=2\ \text{Ом}. \]
\[ I=6\ \text{А}. \]

Ветви:

\[ I_1=2\ \text{А},\qquad I_2=4\ \text{А}. \]

Пример 3. Два контура

Алгоритм:

  1. выбрать направления контурных токов;
  2. записать падения напряжения, учитывая общую ветвь;
  3. решить систему линейных уравнений;
  4. отрицательный результат интерпретировать как обратное направление.

Теоремы Тевенина и Нортона

Любую линейную двухполюсную цепь можно заменить:

  • источником напряжения \(U_{th}\) последовательно с \(R_{th}\);
  • источником тока \(I_N\) параллельно с \(R_N\).
\[ R_N=R_{th}, \]
\[ I_N=\frac{U_{th}}{R_{th}}. \]

Это вузовский и инженерный инструмент упрощения.

Ошибки

  • Считать элементы последовательными только из-за рисунка.
  • Складывать параллельные сопротивления напрямую.
  • Бояться отрицательного тока.
  • Не учитывать нагрузку делителя.

Самопроверка

  1. Что сохраняет первое правило Кирхгофа?
  2. Какое сопротивление у параллельного соединения относительно минимального резистора?
  3. Что означает отрицательное решение для выбранного тока?
Ответы 1. Заряд. 2. Меньше минимального. 3. Реальный ток направлен противоположно выбранному.