Шпаргалки / Математика / Школа / Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы

1. Вектор в линейной алгебре

Определение:
Вектор — элемент векторного пространства, на котором можно складывать и умножать на скаляры.
Не обязательно “стрелка”; это может быть набор чисел, функций, многочленов и т.д.

Практика:

  • В ℝ³ вектор = координаты точки $(x, y, z)$ или скорость объекта $(vx, vy, vz)$.
  • В функции — вектор может быть сама функция, например $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$.

    Идея: вектор — это объект, с которым можно “играть” линейно, не важно, физический он или абстрактный.

2. Векторное пространство

Определение:
Множество $V$ с операциями сложения и умножения на число, удовлетворяющее аксиомам:

  1. Коммутативность: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
  2. Ассоциативность: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
  3. Существование нулевого: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
  4. Существование противоположного: $\vec{a} + (-\vec{a}) = 0$
  5. Дистрибутивность скаляра: $c(\vec{a} + \vec{b}) = c\vec{a} + c\vec{b}$
  6. Ассоциативность скаляра: $(c_1 c_2)\vec{a} = c_1 (c_2 \vec{a})$
  7. Единичный элемент: $1\vec{a} = \vec{a}$

Практика:

  • Это как набор игрушек с одинаковыми правилами.
  • Векторы можно складывать и растягивать без потери структуры.
  • Все привычные координаты, скорости, силы — примеры векторов в пространстве ℝ³.

3. Линейная комбинация и зависимость

Линейная комбинация:

\[ \vec{a} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + ... + c_n \vec{v}_n \]

Линейно зависимые: существует ненулевая комбинация дающая ноль.
Линейно независимые: единственная комбинация, дающая ноль — тривиальная (все коэффициенты = 0).

Практика:

  • Если векторы зависимы, значит один можно выразить через другие.
  • Например, в ℝ³ три вектора, лежащие в одной плоскости → один зависит от двух.
  • Полезно для сокращения размерности и оптимизации.

4. Базис и размерность

Базис: линейно независимые векторы, через которые можно выразить любой вектор.
Размерность: количество векторов в базисе.

Практика:

  • В ℝ³ стандартный базис: $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.
  • Любой вектор = $(x, y, z)$ в этом базисе.
  • Идея: базис — “координатная сетка”, чтобы описывать пространство.

5. Координаты

В базисе ${\vec{e}_1,…,\vec{e}_n}$:

\[ \vec{v} = x_1 \vec{e}_1 + ... + x_n \vec{e}_n \]

Практика:

  • Координаты — это числа, которые говорят, сколько каждого “базисного вектора” нужно, чтобы получить этот вектор.
  • В программировании: координаты — массив чисел.

6. Смена базиса

Если есть базисы $E$ и $E’$, координаты связаны через матрицу перехода $P$:

\[ [v]_E = P [v]_{E'} \]

Практика:

  • Меняем систему координат — например, для удобства вычислений или поворота пространства.
  • В 3D-графике: перевод из локальной системы объекта в мировую.

7. Линейное отображение

$T: V \to W$ линейно, если:

  1. $T(\vec{a} + \vec{b}) = T(\vec{a}) + T(\vec{b})$
  2. $T(c\vec{a}) = c T(\vec{a})$

Матрица отображения:

\[ T(\vec{v}) = A \vec{v} \]

Практика:

  • Любое линейное преобразование можно записать через матрицу.
  • Пример: поворот, растяжение, проекция, отражение.

8. Скалярное произведение

\[ \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = a_1b_1 + ... + a_n b_n \]

Практика:

  • Показывает, насколько два вектора направлены в одну сторону.
  • Используется для вычисления углов, проекций, работы силы.

9. Норма и угол

\[ \|\vec{a}\| = \sqrt{\langle \vec{a}, \vec{a} \rangle}, \quad \cos \theta = \frac{\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|} \]

Практика:

  • Норма = длина вектора.
  • Косинус угла = мера “сходства направлений”.
  • Пример: проверка перпендикулярности, вычисление расстояний и углов.

10. Ортогональный и ортонормированный базис

  • Ортогональный: векторы взаимно перпендикулярны
  • Ортонормированный: ортогональный + длина каждого = 1

Практика:

  • В таком базисе проще вычислять скалярное произведение и нормы.
  • Применение: графика, машинное обучение, квантовая механика.

11. Ортогонализация (Грамм — Шмидт)

  1. $\vec{e}_1 = \vec{v}_1 / |\vec{v}_1|$
  2. $\vec{u}_2 = \vec{v}_2 - \langle \vec{v}_2, \vec{e}_1 \rangle \vec{e}_1$
    $\vec{e}_2 = \vec{u}_2 / |\vec{u}_2|$
  3. И так далее.

Практика:

  • Превращаем “любой набор векторов” в удобный ортонормированный базис.
  • Полезно для численных методов и упрощения вычислений.

12. Векторы в аналитической геометрии

Прямая через точку $A$ с направляющим вектором $\vec{s}$:

\[ x = x_0 + l t, \; y = y_0 + m t, \; z = z_0 + n t \]

Плоскость через точку с нормалью $\vec{n}$:

\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]

Расстояние от точки до плоскости:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Практика:

  • Прямая = путь объекта.
  • Плоскость = поверхность или ограничение.
  • Расстояние = минимальное расстояние до объекта или поверхности.

13. Смешанное произведение и объём

\[ [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \]

Практика:

  • Вычисляет объём параллелепипеда, заданного тремя векторами.
  • Если = 0 → векторы лежат в одной плоскости.
  • Используется для проверки компланарности или объёма.

14. Направляющие косинусы

Для $\vec{a} = (x, y, z)$:

\[ \cos\alpha = x/|\vec{a}|, \; \cos\beta = y/|\vec{a}|, \; \cos\gamma = z/|\vec{a}| \]
\[ \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 \]

Практика:

  • Показывает, как вектор ориентирован относительно осей.
  • Используется для вычислений углов, ориентации объектов в пространстве.