Шпаргалки / Физика / Колебания и волны

Механические колебания

Уровень: База → вуз

Колебания возникают около устойчивого равновесия, когда возвращающая сила стремится вернуть систему назад, а инерция не даёт ей остановиться мгновенно.

Что надо понять

  • Гармоническое колебание описывается синусом или косинусом.
  • Период не зависит от амплитуды только в линейном приближении.
  • Энергия переходит между кинетической и потенциальной.
  • Резонанс возникает, когда внешняя частота близка к собственной.

Основные формулы

1. Гармонический закон

\[ x=A\cos(\omega t+\varphi_0) \]

\(A\) — амплитуда, \(\varphi_0\) — начальная фаза.

2. Период и частота

\[ T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac1T \]

Угловая частота измеряется в рад/с.

3. Пружинный маятник

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

Не зависит от амплитуды при выполнении закона Гука.

4. Математический маятник

\[ T\approx2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]

Верно для малых углов.

5. Энергия

\[ E=\frac{kA^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2} \]

В крайних точках скорость ноль, в равновесии максимальна.

График или схема

Гармоническое колебание

Разобранные задачи

Задача 1. Пружина

Условие. Груз \(0{,}5\) кг на пружине \(200\) Н/м. Найти период.

Решение.

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{200}} =2\pi\sqrt{0{,}0025} \approx0{,}314\,\text{с}. \]

Ответ: \(0{,}314\) с.

Задача 2. Маятник

Условие. Маятник длиной \(1\) м, \(g=9{,}8\) м/с².

Решение.

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}8}}\approx2{,}01\,\text{с}. \]

Ответ: примерно \(2\) с.

Задача 3. Скорость в равновесии

Условие. Груз \(m=2\) кг, пружина \(k=50\) Н/м, амплитуда \(0{,}2\) м.

Решение.

В равновесии вся энергия кинетическая:

\[ \frac{mv_{\max}^2}{2}=\frac{kA^2}{2}. \]
\[ v_{\max}=A\sqrt{\frac{k}{m}} =0{,}2\sqrt{25}=1\,\text{м/с}. \]

Ответ: \(1\) м/с.

Алгоритм решения

  1. Найти положение равновесия.
  2. Проверить линейность возвращающей силы.
  3. Определить собственную частоту.
  4. Использовать фазовое или энергетическое описание.
  5. При внешней силе проверить резонанс и затухание.

Частые ошибки

  • Считать период зависящим от амплитуды в идеальном гармоническом случае.
  • Применять формулу маятника при больших углах.
  • Путать частоту и угловую частоту.
  • Считать скорость максимальной в крайней точке.

Задачи для самопроверки

  1. Частота \(5\) Гц. Период?
Ответ\(0{,}2\) с.
  1. Где скорость гармонического осциллятора максимальна?
ОтветВ положении равновесия.
  1. Что происходит с периодом пружины при увеличении массы в 4 раза?
ОтветУвеличивается в 2 раза.

Связи с другими темами

Краткий итог

Колебания возникают около устойчивого равновесия, когда возвращающая сила стремится вернуть систему назад, а инерция не даёт ей остановиться мгновенно.