Шпаргалки / Физика / Оптика

04. Дифракция и разрешение

Дифракция и разрешение

Уровень: база → первый курс

Дифракция

Дифракция — отклонение волнового распространения от геометрической оптики при взаимодействии с отверстиями, краями и неоднородностями, особенно когда их размер сравним с длиной волны.

Это не редкий дефект, а общее волновое явление.

Принцип Гюйгенса—Френеля

Каждый элемент волнового фронта рассматривается как источник вторичных волн, а поле получается их интерференцией.

Дифракция Фраунгофера и Френеля

  • Фраунгофер: источник и экран эффективно далеко, фронты приблизительно плоские; часто используется линза.
  • Френель: конечные расстояния, кривизна фронта существенна.

Одиночная щель

Ширина щели \(a\). Минимумы:

\[ a\sin\theta=m\lambda, \]
\[ m=\pm1,\pm2,\ldots \]

Центральный максимум вдвое шире боковых между ближайшими минимумами.

При малых углах ширина центрального максимума на экране \(L\):

\[ \Delta x\approx\frac{2\lambda L}{a}. \]

Чем уже щель, тем шире картина.

Круглая апертура

Диск Эйри. Первый минимум:

\[ \theta\approx1{,}22\frac{\lambda}{D}. \]

Критерий Рэлея

Два точечных источника едва разрешены, когда максимум одного совпадает с первым минимумом другого:

\[ \theta_{min}\approx1{,}22\frac{\lambda}{D}. \]

Разрешение улучшается при:

  • большем диаметре апертуры;
  • меньшей длине волны.

Увеличение без увеличения разрешения создаёт лишь более крупное размытое изображение.

Дифракционная решётка

Период \(d\):

\[ d\sin\theta=m\lambda. \]

Максимальный порядок ограничен:

\[ |m|\le\frac d\lambda. \]

Угловая дисперсия:

\[ \frac{d\theta}{d\lambda}=\frac m{d\cos\theta}. \]

Разрешающая способность решётки:

\[ R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN, \]

где \(N\) — число освещённых штрихов.

Фурье-оптика

В дальней зоне дифракционная картина связана с преобразованием Фурье апертуры. Узкая апертура в координатном пространстве даёт широкий спектр пространственных частот.

Это родственник соотношений неопределённости.

Пример 1. Щель

\(a=0{,}2\) мм, \(\lambda=500\) нм, \(L=2\) м:

\[ \Delta x\approx\frac{2\cdot500\cdot10^{-9}\cdot2}{0{,}2\cdot10^{-3}} =0{,}01\ \text{м}=10\ \text{мм}. \]

Пример 2. Решётка

\(d=2\) мкм, \(\lambda=500\) нм, \(m=1\):

\[ \sin\theta=0{,}25, \]
\[ \theta\approx14{,}5^\circ. \]

Пример 3. Телескоп

\(D=0{,}10\) м, \(\lambda=550\) нм:

\[ \theta_{min}\approx6{,}7\cdot10^{-6}\ \text{рад}. \]

Ошибки

  • Считать дифракцию только огибанием препятствия в бытовой картинке.
  • Путать минимум щели и максимум решётки.
  • Считать большее увеличение автоматическим улучшением разрешения.
  • Забывать, что конечная апертура всегда дифрагирует.

Самопроверка

  1. Как меняется картина при сужении щели?
  2. Как улучшить разрешение телескопа?
  3. От чего зависит разрешающая способность решётки?
Ответы 1. Расширяется. 2. Увеличить апертуру или уменьшить длину волны. 3. От порядка и числа освещённых штрихов: \(R=mN\).