Шпаргалки / Математика / Школа / Геометрия

🟢 Планиметрия — площади фигур с пояснениями

🟢 Планиметрия — площади фигур с пояснениями

1. Треугольник

Площадь через основание и высоту:

S = \frac{1}{2} a h

$a$ — сторона треугольника (основание)
$h$ — высота, проведённая к этой стороне
Через две стороны и угол между ними:

S = \frac{1}{2} a b \sin \alpha

$a, b$ — стороны
$\alpha$ — угол между $a$ и $b$
Через полупериметр и радиус вписанной окружности:

S = p \cdot r

$p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр
$r$ — радиус вписанной окружности
Через стороны и радиус описанной окружности:

S = \frac{abc}{4R}

$a,b,c$ — стороны
$R$ — радиус описанной окружности
Формула Герона:

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

2. Квадрат

Площадь:

\[ S = a^2 \]

$a$ — сторона квадрата
Через диагональ:

S = \frac{d^2}{2}

$d$ — диагональ квадрата

3. Прямоугольник

Площадь:

S = a \cdot b

$a,b$ — стороны прямоугольника

4. Параллелограмм

Площадь через основание и высоту:

S = a \cdot h

$a$ — сторона основания
$h$ — высота, проведённая к основанию
Через стороны и угол:

S = a \cdot b \cdot \sin \alpha

$\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$

5. Ромб

Через сторону и высоту:

S = a \cdot h

Через диагонали:

S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

$d_1, d_2$ — диагонали ромба

6. Трапеция

Через основания и высоту:

S = \frac{(a+b)}{2} \cdot h

$a,b$ — основания
$h$ — высота
Через диагонали и угол между ними (сложная формула):

S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha

$d_1, d_2$ — диагонали
$\alpha$ — угол между диагоналями

7. Круг

Площадь:

S = \pi R^2

$R$ — радиус
Через диаметр:

S = \frac{\pi D^2}{4}

$D$ — диаметр

8. Кольцо (или сектор круга)

Площадь кольца:

S = \pi (R^2 - r^2)

$R$ — внешний радиус
$r$ — внутренний радиус
Площадь сектора круга:

S = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2

$\alpha$ — центральный угол в градусах

9. Многоугольник

Регулярный многоугольник через сторону и апофему:

S = \frac{1}{2} P \cdot a

$P$ — периметр
$a$ — апофема (расстояние от центра до стороны)
Через радиус описанной окружности (регулярный n-угольник):

S = \frac{n R^2 \sin \frac{2\pi}{n}}{2}

$n$ — число сторон
$R$ — радиус описанной окружности

10. Полезные символы

Символ	Значение
$S$	площадь фигуры
$a,b,c$	стороны треугольника или многоугольника
$h$	высота (перпендикуляр)
$\alpha$	угол между сторонами или диагоналями
$R$	радиус описанной окружности или круга
$r$	радиус вписанной окружности или внутреннего круга
$d, d_1, d_2$	диагонали фигур
$P$	периметр многоугольника
$\pi$	число π ≈ 3.14159
$\alpha$ (для сектора)	центральный угол в градусах