Формулы площади
🟢 Планиметрия — площади фигур с пояснениями
1. Треугольник
- Площадь через основание и высоту:
\[
S = \frac{1}{2} a h
\]
- \(a\) — сторона треугольника (основание)
-
\(h\) — высота, проведённая к этой стороне
- Через две стороны и угол между ними:
\[
S = \frac{1}{2} a b \sin \alpha
\]
- \(a, b\) — стороны
-
\(\alpha\) — угол между \(a\) и \(b\)
- Через полупериметр и радиус вписанной окружности:
\[
S = p \cdot r
\]
- \(p = \frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр
-
\(r\) — радиус вписанной окружности
- Через стороны и радиус описанной окружности:
\[
S = \frac{abc}{4R}
\]
- \(a,b,c\) — стороны
-
\(R\) — радиус описанной окружности
- Формула Герона:
\[
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]
2. Квадрат
- Площадь:
\[
S = a^2
\]
-
\(a\) — сторона квадрата
-
Через диагональ:
\[
S = \frac{d^2}{2}
\]
- \(d\) — диагональ квадрата
3. Прямоугольник
- Площадь:
\[
S = a \cdot b
\]
- \(a,b\) — стороны прямоугольника
4. Параллелограмм
- Площадь через основание и высоту:
\[
S = a \cdot h
\]
- \(a\) — сторона основания
-
\(h\) — высота, проведённая к основанию
- Через стороны и угол:
\[
S = a \cdot b \cdot \sin \alpha
\]
- \(\alpha\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\)
5. Ромб
- Через сторону и высоту:
\[
S = a \cdot h
\]
- Через диагонали:
\[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
\]
- \(d_1, d_2\) — диагонали ромба
6. Трапеция
- Через основания и высоту:
\[
S = \frac{(a+b)}{2} \cdot h
\]
- \(a,b\) — основания
-
\(h\) — высота
- Через диагонали и угол между ними (сложная формула):
\[
S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha
\]
- \(d_1, d_2\) — диагонали
- \(\alpha\) — угол между диагоналями
7. Круг
- Площадь:
\[
S = \pi R^2
\]
-
\(R\) — радиус
-
Через диаметр:
\[
S = \frac{\pi D^2}{4}
\]
- \(D\) — диаметр
8. Кольцо (или сектор круга)
- Площадь кольца:
\[
S = \pi (R^2 - r^2)
\]
- \(R\) — внешний радиус
-
\(r\) — внутренний радиус
- Площадь сектора круга:
\[
S = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2
\]
- \(\alpha\) — центральный угол в градусах
9. Многоугольник
- Регулярный многоугольник через сторону и апофему:
\[
S = \frac{1}{2} P \cdot a
\]
- \(P\) — периметр
-
\(a\) — апофема (расстояние от центра до стороны)
- Через радиус описанной окружности (регулярный n-угольник):
\[
S = \frac{n R^2 \sin \frac{2\pi}{n}}{2}
\]
- \(n\) — число сторон
- \(R\) — радиус описанной окружности
10. Полезные символы
| Символ | Значение |
|---|---|
| \(S\) | площадь фигуры |
| \(a,b,c\) | стороны треугольника или многоугольника |
| \(h\) | высота (перпендикуляр) |
| \(\alpha\) | угол между сторонами или диагоналями |
| \(R\) | радиус описанной окружности или круга |
| \(r\) | радиус вписанной окружности или внутреннего круга |
| \(d, d_1, d_2\) | диагонали фигур |
| \(P\) | периметр многоугольника |
| \(\pi\) | число π ≈ 3.14159 |
| \(\alpha\) (для сектора) | центральный угол в градусах |