Шпаргалки / Математика / Школа / Геометрия

Формулы объёма

1. Пирамида

  • Объём:
\[ V = \frac{1}{3} S_{\text{основание}} \cdot h \]
  • $V$ — объём пирамиды
  • $S_{\text{основание}}$ — площадь основания

  • $h$ — высота (перпендикуляр из вершины к основанию)

  • Площадь полной поверхности:
\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{основание}} + S_{\text{боковая}} \]
  • $S_{\text{боковая}}$ — сумма площадей боковых граней
  • для правильной пирамиды:
\[ S_{\text{боковая}} = \frac{1}{2} \sum a_i l_i \]
- $a_i$ — стороны основания  
- $l_i$ — апофемы боковых граней

2. Призма

  • Объём:
\[ V = S_{\text{основание}} \cdot h \]

  • $h$ — высота между основаниями

  • Площадь полной поверхности:

\[ S_{\text{полн}} = 2 S_{\text{основание}} + S_{\text{боковая}} \]
  • $S_{\text{боковая}}$ — сумма боковых прямоугольников

3. Параллелепипед

  • Прямоугольный:
\[ V = a \cdot b \cdot c \]
  • $a,b,c$ — длины рёбер
\[ S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac) \]
  • Общий (через векторы):
\[ V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \]
  • $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ — векторы рёбер, исходящие из одной вершины

4. Куб

  • Объём:
\[ V = a^3 \]
  • Площадь поверхности:
\[ S = 6 a^2 \]
  • Диагональ куба:
\[ d = a \sqrt{3} \]
  • $d$ — пространственная диагональ
  • $a$ — длина ребра

5. Цилиндр

  • Объём:
\[ V = \pi R^2 h \]
  • Площадь полной поверхности:
\[ S = 2 \pi R h + 2 \pi R^2 \]
  • Площадь боковой поверхности:
\[ S_{\text{бок}} = 2 \pi R h \]
  • $R$ — радиус основания
  • $h$ — высота

6. Конус

  • Объём:
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \]
  • Площадь полной поверхности:
\[ S = \pi R (R + l) \]
  • Боковая площадь:
\[ S_{\text{бок}} = \pi R l \]
  • $l = \sqrt{R^2 + h^2}$ — образующая
  • $R$ — радиус основания
  • $h$ — высота

7. Сфера

  • Объём:
\[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
  • Площадь поверхности:
\[ S = 4 \pi R^2 \]
  • $R$ — радиус сферы

8. Усечённая пирамида

  • Объём:
\[ V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \]
  • $S_1, S_2$ — площади верхнего и нижнего оснований

  • $h$ — высота между основаниями

  • Площадь боковой поверхности:
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \sum (a_i + b_i) l_i \]
  • $a_i, b_i$ — стороны верхнего и нижнего оснований
  • $l_i$ — боковые апофемы

9. Усечённый конус

  • Объём:
\[ V = \frac{1}{3} \pi h (R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2) \]
  • Площадь боковой поверхности:
\[ S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) l \]
  • $l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2}$ — образующая
  • $R_1$ — радиус нижнего основания
  • $R_2$ — радиус верхнего основания
  • $h$ — высота

10. Эллипсоид

  • Объём:
\[ V = \frac{4}{3} \pi a b c \]

  • $a, b, c$ — полуоси эллипсоида

  • Площадь поверхности (приближённо для вращения вокруг $a$):

\[ S \approx 2 \pi a^2 \left(1 + \frac{bc}{a^2 e} \arcsin e \right), \quad e = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}} \]

11. Тело вращения (интегральная форма)

  • Объём:
\[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx \]
  • Площадь боковой поверхности:
\[ S = 2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \]
  • $f(x)$ — радиус вращения в точке $x$
  • $[a,b]$ — интервал вдоль оси вращения

12. Полезные символы

Символ Значение
$V$ объём тела
$S$ площадь поверхности
$S_{\text{основание}}$ площадь основания
$S_{\text{боковая}}$ площадь боковой поверхности
$R$ радиус (основания или сферы)
$R_1, R_2$ радиусы нижнего и верхнего оснований усечённого конуса/пирамиды
$h$ высота тела (перпендикуляр)
$l$ образующая (конуса, усечённого конуса, пирамиды)