Формулы объёма
1. Пирамида
- Объём:
\[
V = \frac{1}{3} S_{\text{основание}} \cdot h
\]
- \(V\) — объём пирамиды
- \(S_{\text{основание}}\) — площадь основания
-
\(h\) — высота (перпендикуляр из вершины к основанию)
- Площадь полной поверхности:
\[
S_{\text{полн}} = S_{\text{основание}} + S_{\text{боковая}}
\]
- \(S_{\text{боковая}}\) — сумма площадей боковых граней
- для правильной пирамиды:
\[
S_{\text{боковая}} = \frac{1}{2} \sum a_i l_i
\]
- \(a_i\) — стороны основания
- \(l_i\) — апофемы боковых граней
2. Призма
- Объём:
\[
V = S_{\text{основание}} \cdot h
\]
-
\(h\) — высота между основаниями
-
Площадь полной поверхности:
\[
S_{\text{полн}} = 2 S_{\text{основание}} + S_{\text{боковая}}
\]
- \(S_{\text{боковая}}\) — сумма боковых прямоугольников
3. Параллелепипед
- Прямоугольный:
\[
V = a \cdot b \cdot c
\]
- \(a,b,c\) — длины рёбер
\[
S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac)
\]
- Общий (через векторы):
\[
V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|
\]
- \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) — векторы рёбер, исходящие из одной вершины
4. Куб
- Объём:
\[
V = a^3
\]
- Площадь поверхности:
\[
S = 6 a^2
\]
- Диагональ куба:
\[
d = a \sqrt{3}
\]
- \(d\) — пространственная диагональ
- \(a\) — длина ребра
5. Цилиндр
- Объём:
\[
V = \pi R^2 h
\]
- Площадь полной поверхности:
\[
S = 2 \pi R h + 2 \pi R^2
\]
- Площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = 2 \pi R h
\]
- \(R\) — радиус основания
- \(h\) — высота
6. Конус
- Объём:
\[
V = \frac{1}{3} \pi R^2 h
\]
- Площадь полной поверхности:
\[
S = \pi R (R + l)
\]
- Боковая площадь:
\[
S_{\text{бок}} = \pi R l
\]
- \(l = \sqrt{R^2 + h^2}\) — образующая
- \(R\) — радиус основания
- \(h\) — высота
7. Сфера
- Объём:
\[
V = \frac{4}{3} \pi R^3
\]
- Площадь поверхности:
\[
S = 4 \pi R^2
\]
- \(R\) — радиус сферы
8. Усечённая пирамида
- Объём:
\[
V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})
\]
- \(S_1, S_2\) — площади верхнего и нижнего оснований
-
\(h\) — высота между основаниями
- Площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \sum (a_i + b_i) l_i
\]
- \(a_i, b_i\) — стороны верхнего и нижнего оснований
- \(l_i\) — боковые апофемы
9. Усечённый конус
- Объём:
\[
V = \frac{1}{3} \pi h (R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2)
\]
- Площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) l
\]
- \(l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2}\) — образующая
- \(R_1\) — радиус нижнего основания
- \(R_2\) — радиус верхнего основания
- \(h\) — высота
10. Эллипсоид
- Объём:
\[
V = \frac{4}{3} \pi a b c
\]
-
\(a, b, c\) — полуоси эллипсоида
-
Площадь поверхности (приближённо для вращения вокруг \(a\)):
\[
S \approx 2 \pi a^2 \left(1 + \frac{bc}{a^2 e} \arcsin e \right), \quad e = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}}
\]
11. Тело вращения (интегральная форма)
- Объём:
\[
V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx
\]
- Площадь боковой поверхности:
\[
S = 2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx
\]
- \(f(x)\) — радиус вращения в точке \(x\)
- \([a,b]\) — интервал вдоль оси вращения
12. Полезные символы
| Символ | Значение |
|---|---|
| \(V\) | объём тела |
| \(S\) | площадь поверхности |
| \(S_{\text{основание}}\) | площадь основания |
| \(S_{\text{боковая}}\) | площадь боковой поверхности |
| \(R\) | радиус (основания или сферы) |
| \(R_1, R_2\) | радиусы нижнего и верхнего оснований усечённого конуса/пирамиды |
| \(h\) | высота тела (перпендикуляр) |
| \(l\) | образующая (конуса, усечённого конуса, пирамиды) |