Шпаргалки / Физика / Практикум

02. Обработка экспериментальных данных

Обработка экспериментальных данных

\bar x=\frac1N\sum x_i.

s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{N-1}}.

s_{\bar x}=\frac s{\sqrt N}.

Для независимых измерений с неопределённостями $\sigma_i$ :

\bar x_w=\frac{\sum x_i/\sigma_i^2}{\sum1/\sigma_i^2}.

\sigma_w=\frac1{\sqrt{\sum1/\sigma_i^2}}.

Модель:

\[ y=ax+b. \]

Метод наименьших квадратов минимизирует:

\chi^2=\sum_i\frac{(y_i-ax_i-b)^2}{\sigma_i^2}.

Если погрешности одинаковы и учитывается только $$y$$ , обычные формулы дают $$a,b$$ .

r_i=y_i-y_{model}(x_i).

График остатков помогает увидеть:

$$R^2$$ показывает долю вариации, объяснённой моделью, но высокий $$R^2$$ не доказывает правильность физической модели.

\chi^2=\sum_i\frac{r_i^2}{\sigma_i^2}.

Приведённый:

\chi^2_\nu=\frac{\chi^2}{\nu},

где $\nu=N-k$ — число степеней свободы.

Очень большое значение может означать плохую модель или недооценённые ошибки. Очень малое — переоценённые ошибки или корреляции.

Пример маятника:

T=2\pi\sqrt{\frac lg}.

Строим

T^2=\frac{4\pi^2}{g}l.

Наклон:

a=\frac{4\pi^2}{g}.

g=\frac{4\pi^2}{a}.

\[ y=Cx^n. \]

\ln y=\ln C+n\ln x.

Наклон на log-log графике равен $$n$$ .

Но логарифм меняет структуру ошибок; для точной статистики лучше фитировать исходную нелинейную модель.

Даже идеальная линейная связь не доказывает причинный механизм. Возможны общий фактор, выборка или математическая зависимость.

Два результата согласуются грубо, если интервалы неопределённости перекрываются или разность незначительна относительно объединённой ошибки:

z=\frac{|x_1-x_2|}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}.

$z\lesssim2$ часто считают отсутствием значимого расхождения в простой оценке, но контекст важен.