Шпаргалки / Физика / Электродинамика

07. Магнитное поле и сила Лоренца

Магнитное поле и сила Лоренца

Уровень: база → первый курс

Магнитное поле

Магнитное поле создаётся движущимися зарядами, токами и изменяющимся электрическим полем.

Характеризуется вектором магнитной индукции \(\vec B\). Единица — тесла.

Сила Лоренца

Полная электромагнитная сила на заряд:

\[ \vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B). \]

Магнитная часть:

\[ \vec F_B=q\vec v\times\vec B. \]

Модуль:

\[ F_B=|q|vB\sin\alpha. \]

Направление для положительного заряда — по правилу правой руки, для отрицательного противоположно.

Работа магнитной силы

Поскольку

\[ \vec F_B\perp\vec v, \]

то

\[ P=\vec F_B\cdot\vec v=0. \]

Магнитная сила не меняет кинетическую энергию точечного заряда, но меняет направление скорости.

Движение перпендикулярно полю

Сила играет роль центростремительной:

\[ |q|vB=\frac{mv^2}{R}. \]
\[ R=\frac{mv}{|q|B}. \]

Циклотронная частота:

\[ \omega_c=\frac{|q|B}{m}. \]

Период:

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B}. \]

В нерелятивистском случае не зависит от скорости.

Движение под углом

Компонента \(v_\parallel\) не меняется, \(v_\perp\) даёт круговое движение. Траектория — винтовая линия.

Шаг винта:

\[ h=v_\parallel T. \]

Скрещённые поля

Если \(\vec E\perp\vec B\) и силы компенсируются:

\[ qE=qvB. \]
\[ v=\frac EB. \]

Это селектор скоростей.

Эффект Холла

В проводнике с током в магнитном поле носители отклоняются, возникает поперечное напряжение.

Для простой модели:

\[ U_H=\frac{IB}{nqt}. \]

Знак Холла позволяет определить знак носителей.

Пример 1. Протон

\(v=10^6\) м/с, \(B=0{,}2\) Тл, движение перпендикулярно:

\[ F=e vB=3{,}2\cdot10^{-14}\ \text{Н}. \]

Пример 2. Радиус электрона

\(v=2\cdot10^6\) м/с, \(B=0{,}01\) Тл:

\[ R=\frac{m_ev}{eB}\approx1{,}14\ \text{мм}. \]

Пример 3. Селектор

\(E=2\cdot10^4\) В/м, \(B=0{,}1\) Тл:

\[ v=\frac EB=2\cdot10^5\ \text{м/с}. \]

Релятивистское уточнение

При высоких скоростях:

\[ \vec p=\gamma m\vec v, \]

и радиус

\[ R=\frac p{|q|B}. \]

Циклотронная частота уменьшается с ростом \(\gamma\).

Ошибки

  • Направлять силу вдоль поля.
  • Забывать знак заряда.
  • Считать, что магнитная сила разгоняет частицу по энергии.
  • Использовать \(R=mv/qB\) релятивистски без замены на импульс.

Самопроверка

  1. Когда магнитная сила равна нулю?
  2. Что магнитная сила меняет у частицы?
  3. Какова траектория при наличии \(v_\parallel\) и \(v_\perp\)?
Ответы 1. При \(v=0\) или \(\vec v\parallel\vec B\). 2. Направление импульса, но не его модуль в чистом магнитном поле. 3. Винтовая линия.