Шпаргалки / Физика / 01. Основы физики

10. Производная и интеграл в физике

Производная и интеграл в физике

Уровень: база → первый курс

Производная функции $$x(t)$$ :

\frac{dx}{dt}

показывает, насколько быстро меняется $$x$$ в данный момент.

Средняя скорость:

\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}.

Мгновенная скорость:

v=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}.

Ускорение:

a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}.

Производная — наклон касательной к графику.

Если $$x(t)$$ возрастает всё круче, скорость положительна и растёт.

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1},

\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,

\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,

\frac{d}{dx}e^x=e^x.

\[ x(t)=3+2t+t^2. \]

Тогда

\[ v(t)=2+2t, \]

\[ a(t)=2. \]

Если известна скорость, перемещение:

\Delta x=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt.

Если известна сила как функция координаты, работа:

A=\int_{x_1}^{x_2}F_x(x)\,dx.

Если известна линейная плотность $\lambda(x)$ , масса:

m=\int\lambda(x)\,dx.

Если

\frac{dv}{dt}=a,

и $$a$$ постоянно, то

\[ v=at+C. \]

Постоянная определяется начальным условием:

v(0)=v_0\Rightarrow C=v_0.

Поэтому

\[ v=v_0+at. \]

Интегрируя ещё раз:

x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}.

Так формулы кинематики не падают с неба, а следуют из определений.

Если функция зависит от нескольких переменных, например $$T(x,y,z,t)$$ , то

\frac{\partial T}{\partial t}

показывает изменение температуры во времени при фиксированной точке, а

\frac{\partial T}{\partial x}

пространственный градиент вдоль $$x$$ .

Уравнение, связывающее функцию и её производные.

Пример гармонического осциллятора:

\ddot x+\omega^2x=0.

Решение:

x=A\cos(\omega t+\varphi).

Ответы

\(v=15t^2\)

\(a=30t\)

. 2.

\(v=3+t^2\)

. 3. Изменение скорости.