Шпаргалки / Математика / Школа / Геометрия

Углы

1. Основные определения

  • Угол — фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной.
\[ \text{Угол } \alpha = \angle ABC, \quad B \text{ — вершина} \]
  • Вершина угла — точка, где сходятся лучи.
  • Стороны угла — лучи, образующие угол.
  • Развёрнутый угол — угол равный $180^\circ$
  • Прямой угол — угол равный $90^\circ$
  • Острый угол — угол меньше $90^\circ$
  • Тупой угол — угол больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$

2. Связанные углы

2.1 Сумма углов

  • Сумма углов треугольника:
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
  • Сумма углов многоугольника с $n$ сторонами:
\[ \sum \text{углов} = (n-2) \cdot 180^\circ \]

2.2 Вертикальные углы

  • Определение: углы, образованные при пересечении двух прямых и лежащие напротив друг друга.
  • Свойство: вертикальные углы равны
\[ \angle 1 = \angle 2 \]

2.3 Смежные углы

  • Определение: два угла, имеющие общую сторону и вершину, а другие стороны лежат на одной прямой.
  • Свойство: сумма смежных углов равна $180^\circ$
\[ \angle AOB + \angle BOC = 180^\circ \]

2.4 Дополнительные и вертикальные углы

  • Дополнительные углы: два угла, сумма которых равна $180^\circ$.
\[ \angle \text{дополн.} + \angle \text{дополн.} = 180^\circ \]
  • Вертикальные углы: два угла при пересечении прямых напротив друг друга.
\[ \angle \text{верт.} = \angle \text{верт.} \]

2.5 Противолежащие и накрест лежащие углы

  • Накрест лежащие углы: углы при пересечении двух прямых и секущей, находящиеся по разные стороны от секущей.
  • Свойство: накрест лежащие углы равны
\[ \angle 1 = \angle 2 \]
  • Односторонние углы (с внутренней стороны секущей):
  • Свойство: сумма односторонних углов равна $180^\circ$
\[ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \]

2.6 Углы при параллельных прямых

  • Если две параллельные прямые пересекает секущая:
    1. Накрест лежащие углы равны
\[ \angle 1 = \angle 2 \]
  1. Односторонние углы в сумме $180^\circ$
\[ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \]
  1. Соответственные углы равны
\[ \angle 1 = \angle 2 \]

2.7 Углы треугольника

  • Внешний угол треугольника:
    Равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним
\[ \angle \text{внешний} = \alpha + \beta \]
  • Свойства:
    • Каждый угол треугольника < $180^\circ$
    • Сумма любых двух сторон треугольника > третьей стороны → вывод о величине углов

3. Полезные символы и обозначения

Символ Значение
$\alpha, \beta, \gamma$ углы треугольника
$\angle AOB$ угол с вершиной в точке $O$
$\angle 1, \angle 2$ углы при пересечении прямых
$180^\circ$ развёрнутый угол / сумма смежных углов
$90^\circ$ прямой угол
$<90^\circ$ острый угол
$>90^\circ$ тупой угол