Шпаргалки / Физика / Механика

19. Механика жидкостей и газов

Механика жидкостей и газов

Уровень: база → первый курс

Сплошная среда

Жидкость или газ рассматривают как непрерывную среду, если микроскопические масштабы много меньше масштаба задачи.

Поля:

\[ \rho(\vec r,t),\quad p(\vec r,t),\quad \vec v(\vec r,t),\quad T(\vec r,t). \]

Плотность

\[ \rho=\frac{m}{V}. \]

Для неоднородной среды:

\[ \rho=\frac{dm}{dV}. \]

Давление

\[ p=\frac{F_\perp}{S}. \]

В покоящейся жидкости давление действует одинаково по всем направлениям.

Гидростатика

Выбирая ось \(z\) вверх:

\[ \frac{dp}{dz}=-\rho g. \]

Для постоянной плотности:

\[ p=p_0+\rho gh. \]

Давление зависит от глубины, плотности и \(g\), но не от формы сосуда.

Закон Паскаля

Изменение давления в замкнутой жидкости передаётся без изменения.

Гидравлический пресс:

\[ \frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}. \]

Выигрыш в силе компенсируется проигрышем в перемещении:

\[ F_1s_1\approx F_2s_2. \]

Архимедова сила

\[ F_A=\rho_{\text{ср}}gV_{\text{выт}}. \]

Равна весу вытесненной среды.

Плавание:

\[ F_A=mg. \]

Для плавающего тела:

\[ \frac{V_{\text{погр}}}{V}=\frac{\rho_{\text{тела}}}{\rho_{\text{жид}}}. \]

Расход

Объёмный:

\[ Q=\frac{dV}{dt}=Sv \]

для равномерного профиля.

Массовый:

\[ \dot m=\rho Sv. \]

Уравнение непрерывности

Для стационарного потока:

\[ \rho Sv=\text{const}. \]

Для несжимаемой жидкости:

\[ S_1v_1=S_2v_2. \]

Уравнение Бернулли

Для стационарного невязкого несжимаемого потока вдоль линии тока:

\[ p+\rho gh+\frac{\rho v^2}{2}=\text{const}. \]

Члены имеют размерность давления или энергии на объём.

Вязкость

Для ньютоновской жидкости касательное напряжение:

\[ \tau=\eta\frac{dv}{dy}. \]

Течение Пуазейля в трубе:

\[ Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\eta L}. \]

Сильная зависимость \(R^4\) объясняет чувствительность потока к радиусу сосудов.

Число Рейнольдса

\[ Re=\frac{\rho vL}{\eta}. \]

Сравнивает инерционные и вязкие эффекты. Малый \(Re\) обычно связан с ламинарным режимом, большой — с возможностью турбулентности.

Поверхностное натяжение

Сила вдоль линии:

\[ F=\sigma l. \]

Избыточное давление по Лапласу:

\[ \Delta p=\sigma\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right). \]

Для капли:

\[ \Delta p=\frac{2\sigma}{R}. \]

Для мыльного пузыря две поверхности:

\[ \Delta p=\frac{4\sigma}{R}. \]

Пример 1. Труба

Диаметр уменьшается с \(4\) см до \(2\) см. Скорость \(1{,}5\) м/с:

\[ v_2=v_1\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 =1{,}5\cdot4=6\ \text{м/с}. \]

Пример 2. Архимед

Объём \(0{,}01\) м³ погружён в воду:

\[ F_A=1000\cdot9{,}8\cdot0{,}01=98\ \text{Н}. \]

Пример 3. Истечение Торричелли

Из Бернулли для отверстия на глубине \(h\):

\[ v=\sqrt{2gh}. \]

Формально совпадает со скоростью падения с высоты \(h\).

Пример 4. Подъёмная сила и осторожность

Упрощённая фраза «быстрее поток — меньше давление» верна только в рамках конкретного применения Бернулли вдоль линии тока. Подъёмная сила крыла требует анализа циркуляции, изменения импульса потока и граничных условий, а не одной картинки с двумя стрелками.

Вузовское продолжение

Локальные уравнения:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec v)=0, \]
\[ \rho\left(\frac{\partial\vec v}{\partial t}+\vec v\cdot\nabla\vec v\right) =-\nabla p+\eta\nabla^2\vec v+\rho\vec f. \]

Второе — уравнение Навье—Стокса для простого случая.

Ошибки

  • Подставлять плотность тела в формулу Архимеда.
  • Применять Бернулли без проверки стационарности и потерь.
  • Путать скорость и расход.
  • Забывать квадрат диаметра в площади.

Самопроверка

  1. Почему давление на одной глубине одинаково в связной покоящейся жидкости?
  2. Как меняется расход Пуазейля при удвоении радиуса?
  3. Что сохраняет уравнение непрерывности?
Ответы 1. Иначе жидкость начала бы двигаться из области большего давления. 2. Увеличивается в 16 раз. 3. Массу.