Шпаргалки / Математика / Школа / Алгебра / Уравнения и неравенства

Кубические

Кубическое уравнение — это уравнение третьей степени:

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \ne 0.

Общий план решения

Приводим к приведённому виду (если нужно):
Раздели всё на $$a$$ , чтобы старший коэффициент стал 1:

\[ x^3 + px^2 + qx + r = 0. \]

Делаем замену, чтобы убрать $$x^2$$ :

x = y - \frac{p}{3}.

После подстановки получаем уравнение без квадрата — приведённое кубическое:

\[ y^3 + ay + b = 0, \]

где

a = q - \frac{p^2}{3}, \quad b = \frac{2p^3}{27} - \frac{pq}{3} + r.

Решаем приведённое кубическое уравнение.

Если коэффициенты целые — попробуй подобрать целый корень $$x_1$$ из делителей свободного члена $$d$$ .
Проверяешь подстановкой в уравнение.

Если найден $$x_1$$ , делим многочлен на $$(x - x_1)$$ (делением или схемой Горнера),
получаем квадратное, решаем его по стандартной формуле.

Для приведённого уравнения:

\[ y^3 + ay + b = 0 \]

Вводим дискриминант:

D = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^3.

— один действительный корень, два комплексных.

y = \sqrt[3]{-\frac{b}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{b}{2} - \sqrt{D}}.

— все корни действительные, минимум два совпадают.

y_1 = 2\sqrt[3]{-\frac{b}{2}}, \quad y_{2,3} = -\sqrt[3]{-\frac{b}{2}}.

— три разных действительных корня.
Тогда используем тригонометрическую форму:

y_k = 2\sqrt{\frac{-a}{3}} \cos\!\left(\frac{1}{3}\arccos\!\left(\frac{3b}{2a}\sqrt{\frac{-3}{a}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k = 0,1,2.

После нахождения $$y$$ , возвращаемся к $$x$$ :

x = y - \frac{p}{3}.