Шпаргалки / Физика / Университетское продолжение

02. Статистическая физика

Статистическая физика

Уровень: университет

Задача

Макроскопическое тело содержит порядка \(10^{23}\) частиц. Решать уравнения движения каждой невозможно и бессмысленно. Статистическая физика связывает микроскопические состояния с термодинамическими величинами.

Микросостояние и макросостояние

  • микросостояние: полное описание координат и импульсов или квантового состояния;
  • макросостояние: задано несколькими величинами \(E,V,N,T,p\).

Многим микросостояниям соответствует одно макросостояние.

Вероятности

Среднее наблюдаемой \(A\):

\[ \langle A\rangle=\sum_i p_iA_i. \]

В непрерывном случае — интеграл по распределению.

Микроканонический ансамбль

Изолированная система с фиксированными \(E,V,N\). Доступные микросостояния считаются равновероятными.

Энтропия Больцмана:

\[ S=k\ln\Omega. \]

Канонический ансамбль

Система обменивается энергией с термостатом, фиксированы \(T,V,N\).

Вероятность состояния энергии \(E_i\):

\[ p_i=\frac{e^{-\beta E_i}}{Z}, \]
\[ \beta=\frac1{kT}. \]

Статистическая сумма:

\[ Z=\sum_i e^{-\beta E_i}. \]

Свободная энергия:

\[ F=-kT\ln Z. \]

Средняя энергия:

\[ U=-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}. \]

Энтропия:

\[ S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N}. \]

Большой канонический ансамбль

Обмен энергией и частицами, фиксированы \(T,V,\mu\).

\[ \Xi=\sum_N\sum_i e^{-\beta(E_{iN}-\mu N)}. \]

Равнораспределение энергии

Каждая квадратичная степень свободы в классическом равновесии даёт в среднем:

\[ \frac12kT. \]

Это объясняет \(3kT/2\) поступательной энергии частицы.

Квантование «замораживает» степени свободы при низких температурах, поэтому классическая теплоёмкость не всегда работает.

Флуктуации

Макроскопические величины колеблются около среднего. Для энергии канонической системы:

\[ \langle(\Delta E)^2\rangle=kT^2C_V. \]

Относительные флуктуации обычно убывают как

\[ \frac1{\sqrt N}. \]

Поэтому макроскопика стабильна.

Распределения частиц

Максвелл—Больцман

Классические разреженные частицы.

Ферми—Дирак

Фермионы, не более одного на квантовое состояние с данными числами:

\[ f(E)=\frac1{e^{(E-\mu)/kT}+1}. \]

Бозе—Эйнштейн

Бозоны:

\[ f(E)=\frac1{e^{(E-\mu)/kT}-1}. \]

Из неё следуют бозе-конденсация и статистика фотонов.

Фазовые переходы

Связаны с неаналитическим поведением термодинамических потенциалов в термодинамическом пределе.

Параметр порядка отличает фазы. Например, намагниченность ферромагнетика.

Энтропия Гиббса

\[ S=-k\sum_i p_i\ln p_i. \]

Для равновероятных состояний переходит в \(k\ln\Omega\).

Самопроверка

  1. Что хранит статистическая сумма?
  2. Почему относительные флуктуации малы в макросистеме?
  3. Чем отличаются фермионы и бозоны статистически?
Ответы 1. Информацию о доступных энергетических состояниях и их весах. 2. Они убывают примерно как \(1/\sqrt N\). 3. Фермионы подчиняются запрету Паули, бозоны могут массово занимать одно состояние.