Биномиальное разложение
Бином Ньютона
Формула биномиального разложения:
\[
(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]
где:
\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \quad \text{— биномиальный коэффициент.}
\]
Примеры раскрытия
- \(n=2\) (квадрат суммы/разности):
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - \(n=3\) (куб суммы/разности):
\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
\((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) - \(n=4\) (для примера):
\((a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)
Связь с треугольником Паскаля
- Каждая строка \(n\) треугольника Паскаля = коэффициенты при раскрытии \((a+b)^n\)
- Пример для \(n=4\): \(1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1\)
Свойства биномиальных коэффициентов
- Симметрия: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
- Сумма строки: \(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n\)
- Рекурсия: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)
- Связь с формулами сокращённого умножения: частные случаи для \(n=2,3\)
Применение
- Алгебра: раскрытие скобок
- Комбинаторика: подсчёт способов выбрать \(k\) объектов из \(n\)
- Вероятность: биномиальное распределение (k успехов из n испытаний)