Формула биномиального разложения:

где:

Примеры раскрытия

• $n=2$ (квадрат суммы/разности): $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $n=3$ (куб суммы/разности): $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
  $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
• $n=4$ (для примера): $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Связь с треугольником Паскаля

• Каждая строка $n$ треугольника Паскаля = коэффициенты при раскрытии $(a+b)^n$
• Пример для $n=4$: $1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$

Свойства биномиальных коэффициентов

1. Симметрия: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
2. Сумма строки: $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$
3. Рекурсия: $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$
4. Связь с формулами сокращённого умножения: частные случаи для $n=2,3$

Применение

• Алгебра: раскрытие скобок
• Комбинаторика: подсчёт способов выбрать $k$ объектов из $n$
• Вероятность: биномиальное распределение (k успехов из n испытаний)