Шпаргалки / Физика / Механика

01. Механическое движение и материальная точка

Механическое движение и материальная точка

Уровень: с нуля

Механическое движение

Механическое движение — изменение положения тела относительно других тел с течением времени.

В определении обязательно присутствуют:

  • положение;
  • другое тело или система отсчёта;
  • время.

Без указания системы отсчёта фраза «тело движется» неполна.

Покой

Тело находится в покое в выбранной системе, если его координаты не меняются:

\[ \vec r(t)=\text{const}. \]

Покой относителен. Человек в кресле самолёта покоится относительно салона, но движется относительно Земли.

Материальная точка

Материальная точка — модель тела, размерами и формой которого в данной задаче можно пренебречь, сохранив его массу.

Это не маленькое тело. Землю можно считать материальной точкой при расчёте орбиты вокруг Солнца, но нельзя при изучении смены дня и ночи.

Когда модель применима

Размер тела \(l\) должен быть мал по сравнению с характерным масштабом задачи \(L\):

\[ \frac{l}{L}\ll1. \]

Но это не единственный критерий. Если задача зависит от вращения, деформации или распределения массы, материальная точка не подходит.

Другие модели механики

  • система материальных точек — несколько взаимодействующих тел;
  • абсолютно твёрдое тело — расстояния между точками постоянны;
  • деформируемое тело — форма и размеры меняются;
  • сплошная среда — жидкость, газ или твёрдое тело описываются полями плотности и скорости.

Положение и радиус-вектор

В декартовой системе:

\[ \vec r=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z. \]

Координаты являются компонентами радиус-вектора.

Траектория

Траектория — линия, по которой движется точка в выбранной системе отсчёта.

Типы:

  • прямолинейная;
  • криволинейная;
  • окружность;
  • парабола;
  • спираль;
  • произвольная пространственная кривая.

Уравнение движения

Уравнение движения задаёт положение как функцию времени:

\[ \vec r=\vec r(t). \]

В плоскости:

\[ x=x(t),\qquad y=y(t). \]

Исключив \(t\), можно получить уравнение траектории.

Пример 1. Можно ли считать поезд точкой

  • При расчёте времени поездки между Москвой и Петербургом — можно.
  • При расчёте времени полного прохождения моста — длина поезда существенна, нельзя.
  • При изучении опрокидывания — нужен центр масс и размеры.

Пример 2. Уравнение траектории

Пусть

\[ x=2t, \]
\[ y=5t^2. \]

Из первого уравнения:

\[ t=\frac{x}{2}. \]

Подставляя:

\[ y=5\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac54x^2. \]

Траектория — парабола.

Вузовское продолжение

В аналитической механике состояние точки задаётся обобщёнными координатами \(q_i\) и скоростями \(\dot q_i\). Выбор координат подчиняется связям системы и симметриям.

Ошибки

  • Считать материальную точку телом нулевой массы.
  • Использовать модель точки, когда нужен момент инерции.
  • Говорить о траектории без системы отсчёта.
  • Путать уравнение траектории и уравнение движения.

Самопроверка

  1. Можно ли считать Землю точкой при расчёте её плотности?
  2. Чем траектория отличается от уравнения движения?
  3. Какие данные сохраняются в модели материальной точки?
Ответы 1. Нет, нужен объём. 2. Траектория задаёт геометрическую линию, уравнение движения ещё и закон прохождения её во времени. 3. Масса и положение.