Шпаргалки / Физика / Релятивистская физика

01. Постулаты, одновременность и преобразования Лоренца

Постулаты, одновременность и преобразования Лоренца

Уровень: база → университет

Почему Галилей недостаточен

Классическое сложение скоростей предсказало бы разные скорости света для разных наблюдателей. Эксперименты и структура электродинамики потребовали новой кинематики.

Постулаты СТО

  1. Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах.
  2. Скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных наблюдателей и не зависит от движения источника.

Событие

Событие задаётся:

\[ (ct,x,y,z). \]

Наблюдатели могут не соглашаться с координатами и временем, но связаны преобразованиями Лоренца.

Одновременность

Два пространственно разделённых события, одновременные в одной системе, могут быть неодновременными в другой.

Синхронизация часов требует процедуры обмена световыми сигналами. Одновременность не абсолютна.

Преобразования Лоренца

Для \(S'\) со скоростью \(v\) вдоль \(x\):

\[ x'=\gamma(x-vt), \]
\[ t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right), \]
\[ y'=y, \]
\[ z'=z. \]
\[ \gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

При \(v\ll c\) они переходят в преобразования Галилея.

Интервал

\[ \Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2. \]

Он инвариантен.

Типы:

  • времениподобный: \(\Delta s^2>0\);
  • светоподобный: \(\Delta s^2=0\);
  • пространственноподобный: \(\Delta s^2<0\).

Причинная связь возможна только для времениподобных или светоподобных интервалов.

Собственное время

Для часов, покоящихся относительно двух событий:

\[ c^2\Delta\tau^2=\Delta s^2. \]

В лабораторной системе:

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau. \]

Движущиеся часы между выбранными событиями на их мировой линии накапливают меньше собственного времени.

Сокращение длины

Собственная длина \(L_0\) измерена в системе покоя стержня.

В системе, где стержень движется:

\[ L=\frac{L_0}{\gamma}. \]

Координаты концов надо измерять одновременно в системе измерителя, а одновременность относительна.

Сложение скоростей

\[ u'_x=\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2}. \]

Обратная формула:

\[ u_x=\frac{u'_x+v}{1+u'_xv/c^2}. \]

Результат не превышает \(c\).

Пример

\(v=0{,}8c\):

\[ \gamma=\frac1{0{,}6}=1{,}667. \]

\(6\) лет собственного времени соответствуют:

\[ \Delta t=10\ \text{лет}. \]

Собственная длина \(120\) м наблюдается как:

\[ L=72\ \text{м}. \]

Парадокс близнецов

Это не симметричная ситуация: путешественник меняет инерциальные участки и мировую линию. Собственное время — длина мировой линии в пространстве-времени. Между встречами разные траектории могут иметь разные собственные времена.

Ошибки

  • Считать замедление времени неисправностью часов.
  • Применять сокращение длины без требования одновременного измерения концов.
  • Складывать скорости по Галилею при \(v\sim c\).
  • Считать относительность одновременности эффектом задержки зрения: она остаётся после коррекции сигналов.

Самопроверка

  1. Что инвариантно при преобразованиях Лоренца?
  2. В какой системе измеряется собственная длина?
  3. Может ли массивное тело достичь \(c\)?
Ответы 1. Интервал. 2. В системе покоя тела. 3. Нет.