Шпаргалки / Физика / 01. Основы физики

06. Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта

Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта

Уровень: база, обязательная тема перед законами Ньютона

Инерциальная система отсчёта простыми словами

Инерциальная система отсчёта — такая система, в которой свободное тело не начинает само по себе ускоряться.

Если на тело не действует результирующая сила, то в инерциальной системе оно:

  • либо покоится;
  • либо движется прямолинейно и равномерно.

Это и есть содержание первого закона Ньютона.

Строгое определение

Система отсчёта называется инерциальной, если в ней выполняется первый закон Ньютона:

\[ \sum\vec F=0 \quad\Longrightarrow\quad \vec v=\text{const}. \]

Здесь \(\vec v=\text{const}\) включает частный случай \(\vec v=0\).

Свободное тело

Свободное тело — идеализированное тело, внешними взаимодействиями которого можно пренебречь или чья равнодействующая внешних сил равна нулю.

Важно: на тело могут действовать силы, но если они уравновешены, ускорение равно нулю.

Например, книга на столе:

\[ \vec N+m\vec g=0. \]

Она покоится не потому, что сил нет, а потому что их сумма равна нулю.

Как найти инерциальную систему

Первый закон не даёт абсолютного прибора «инерциальномер». Инерциальность проверяют по поведению свободных тел и точности модели.

Если одна система инерциальна, то любая система, движущаяся относительно неё поступательно и равномерно, тоже инерциальна.

Пусть

\[ \vec r'=\vec r-\vec Vt, \]

где \(\vec V=\text{const}\). Тогда

\[ \vec v'=\vec v-\vec V, \]
\[ \vec a'=\vec a. \]

Раз ускорение одинаково, уравнение

\[ \sum\vec F=m\vec a \]

имеет одинаковый вид.

Примеры почти инерциальных систем

Поезд, движущийся равномерно по прямому участку

Внутри закрытого вагона механические опыты протекают так же, как в покоящемся вагоне. Это хорошее приближение инерциальной системы.

Земная лаборатория

Земля вращается и движется вокруг Солнца, поэтому строго неинерциальна. Но для многих опытов на столе эффекты вращения малы, и лабораторию считают приближённо инерциальной.

Для маятника Фуко, крупномасштабной атмосферы или дальнобойной артиллерии вращение Земли уже нельзя игнорировать.

Неинерциальная система

Неинерциальная система отсчёта движется с ускорением или вращается относительно инерциальной.

В ней свободное тело может иметь ускорение без обычного физического взаимодействия с другим телом.

Примеры:

  • разгоняющийся автобус;
  • тормозящий автомобиль;
  • вращающаяся карусель;
  • лифт с ускорением;
  • система, связанная с Землёй, если учитывать её вращение.

Почему пассажира «бросает назад»

Автобус начинает ускоряться вперёд. Тело пассажира по инерции стремится сохранять прежнюю скорость относительно дороги. Пол автобуса ускоряет ноги вперёд, верхняя часть тела запаздывает. Относительно автобуса кажется, что пассажира отклоняет назад.

В инерциальной системе дороги никакой загадочной силы назад не нужно: тело просто не успело приобрести скорость автобуса.

Силы инерции

Чтобы применять привычное уравнение Ньютона непосредственно в неинерциальной системе, вводят силу инерции.

Для системы, движущейся поступательно с ускорением \(\vec a_0\):

\[ \vec F_{\text{ин}}=-m\vec a_0. \]

Тогда в ускоряющейся системе можно писать

\[ \sum\vec F_{\text{реал}}+\vec F_{\text{ин}}=m\vec a'. \]

Сила инерции отличается от обычной силы:

  • не имеет второго взаимодействующего тела;
  • пропорциональна массе;
  • возникает из выбора ускоренной системы координат.

Вращающиеся системы

Во вращающейся системе появляются:

Центробежная сила инерции

\[ \vec F_{\text{цб}}=-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r). \]

Она направлена от оси вращения.

Сила Кориолиса

\[ \vec F_{\text{Кор}}=-2m\vec\omega\times\vec v'. \]

Возникает только для тела, движущегося относительно вращающейся системы.

Сила Эйлера

\[ \vec F_{\text{Э}}=-m\frac{d\vec\omega}{dt}\times\vec r. \]

Появляется при изменении угловой скорости системы.

Разобранный пример 1. Разгоняющийся вагон

Вагон ускоряется вправо с \(a_0=2\) м/с². На гладком полу лежит брусок.

В системе земли брусок при отсутствии горизонтальной силы сохраняет скорость.

В системе вагона его ускорение:

\[ \vec a'=-\vec a_0. \]

Это можно описать силой инерции:

\[ \vec F_{\text{ин}}=-m\vec a_0. \]

Для массы \(3\) кг:

\[ F_{\text{ин}}=3\cdot2=6\ \text{Н} \]

влево.

Разобранный пример 2. Вес в лифте

Лифт ускоряется вверх с \(a\).

В инерциальной системе земли:

\[ N-mg=ma, \]
\[ N=m(g+a). \]

При ускорении вниз:

\[ N=m(g-a). \]

При свободном падении \(a=g\):

\[ N=0. \]

Это состояние невесомости, хотя сила тяжести остаётся.

Разобранный пример 3. Покой на повороте

Предмет лежит на горизонтальной вращающейся платформе и покоится относительно неё. В инерциальной системе трение направлено к центру и даёт центростремительное ускорение:

\[ F_{\text{тр}}=m\omega^2r. \]

Во вращающейся системе предмет покоится, поэтому трение к центру уравновешивается центробежной силой инерции наружу.

Что не является доказательством неинерциальности

  • Наличие движения само по себе.
  • Большая скорость.
  • Наличие сил.

Система может двигаться с огромной постоянной скоростью и оставаться инерциальной. Неинерциальность связана с ускорением и вращением.

Типичные ошибки

  • Считать Землю строго инерциальной во всех задачах.
  • Называть любую движущуюся систему неинерциальной.
  • Путать центростремительную реальную силу и центробежную силу инерции.
  • Добавлять силу инерции в инерциальной системе.
  • Считать, что невесомость означает отсутствие гравитации.

Вузовское продолжение

В общей механике связь ускорений имеет вид

\[ \vec a=\vec a_0+\vec a' +2\vec\omega\times\vec v' +\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r) +\dot{\vec\omega}\times\vec r. \]

В общей теории относительности свободно падающая локальная система является локально инерциальной, а гравитация описывается геометрией пространства-времени.

Самопроверка

  1. Вагон движется прямолинейно с постоянной скоростью. Можно ли считать его инерциальным?
  2. Автомобиль поворачивает с постоянным модулем скорости. Инерциальна ли связанная с ним система?
  3. Почему Земля лишь приближённо инерциальна?
  4. Есть ли сила тяжести на космонавта в орбите?
Ответы 1. Да, если пренебречь внешними ускорениями и вибрациями. 2. Нет, направление скорости меняется, значит есть ускорение. 3. Земля вращается и движется по орбите. 4. Да. Невесомость возникает из-за совместного свободного падения.