Шпаргалки / Физика / МКТ и термодинамика

05. Первый закон термодинамики

Первый закон термодинамики

Уровень: база → первый курс

Формулировка

Изменение внутренней энергии системы равно полученной теплоте минус работа, совершённая системой:

\[ \Delta U=Q-A. \]

Эквивалентная договорённость через работу над системой \(A_{\text{над}}\):

\[ \Delta U=Q+A_{\text{над}}. \]

Обе записи верны, если не смешивать знаки.

Физический смысл

Первый закон — закон сохранения энергии для термодинамических процессов.

Невозможен вечный двигатель первого рода, который совершает работу без получения энергии и без уменьшения запаса энергии.

Дифференциальная форма

\[ dU=\delta Q-\delta A. \]

Знаки \(d\) и \(\delta\) подчёркивают:

  • \(U\) — функция состояния, её дифференциал точный;
  • \(Q\) и \(A\) зависят от пути.

Для простой сжимаемой системы при квазистатической работе:

\[ \delta A=p\,dV. \]
\[ dU=\delta Q-p\,dV. \]

Изохорный процесс

\[ dV=0, \]
\[ A=0, \]
\[ Q=\Delta U. \]

Изобарный процесс

\[ A=p(V_2-V_1)=\nu R\Delta T \]

для идеального газа.

\[ Q=\nu C_p\Delta T. \]

Изотермический процесс идеального газа

\[ \Delta T=0. \]

Поскольку \(U=U(T)\):

\[ \Delta U=0. \]

Следовательно:

\[ Q=A. \]

Работа обратимого изотермического расширения:

\[ A=\nu RT\ln\frac{V_2}{V_1}. \]

Адиабатический процесс

\[ Q=0. \]
\[ \Delta U=-A. \]

При расширении газ совершает работу и охлаждается.

Для обратимого адиабатического процесса идеального газа:

\[ pV^\gamma=\text{const}, \]
\[ TV^{\gamma-1}=\text{const}, \]
\[ \gamma=\frac{C_p}{C_V}. \]

Циклический процесс

После полного цикла состояние прежнее:

\[ \Delta U_{\text{цикл}}=0. \]

Поэтому

\[ Q_{\text{цикл}}=A_{\text{цикл}}. \]

На \(p(V)\) работа цикла равна ориентированной площади внутри контура.

Свободное расширение идеального газа

Газ расширяется в вакуум в изолированном сосуде:

\[ Q=0, \]
\[ A=0, \]
\[ \Delta U=0. \]

Для идеального газа температура не меняется, но процесс необратим и энтропия растёт.

Пример 1. Изохорное нагревание

Два моля одноатомного газа нагрели на \(50\) К:

\[ \Delta U=\frac32\nu R\Delta T \approx1247\ \text{Дж}. \]
\[ A=0, \]
\[ Q=1247\ \text{Дж}. \]

Пример 2. Изобарное нагревание

Один моль нагрели на \(100\) К:

\[ A=\nu R\Delta T=831\ \text{Дж}. \]

Для одноатомного газа:

\[ \Delta U=\frac32R\Delta T\approx1247\ \text{Дж}. \]
\[ Q\approx2078\ \text{Дж}. \]

Пример 3. Цикл

Газ получил от нагревателя \(500\) Дж и отдал холодильнику \(320\) Дж:

\[ Q_{\text{чист}}=500-320=180\ \text{Дж}. \]

За цикл:

\[ A=180\ \text{Дж}. \]

Ошибки

  • Менять знак работы в середине решения.
  • Считать \(Q=0\) в изотермическом процессе.
  • Считать \(\Delta U=0\) только потому, что давление вернулось к прежнему.
  • Путать адиабатический и изотермический процесс.

Самопроверка

  1. Чему равна \(\Delta U\) за цикл?
  2. Почему идеальный газ охлаждается при адиабатическом расширении?
  3. Что происходит с \(Q\) и \(A\) при изотермическом процессе идеального газа?
Ответы 1. Нулю. 2. Он совершает работу за счёт внутренней энергии. 3. Они равны в принятой договорённости, а \(\Delta U=0\).