Шпаргалки / Физика / Колебания и волны

03. Механические волны

Механические волны

Уровень: база → первый курс

Волна

Механическая волна — распространение возмущения в упругой среде с переносом энергии и импульса без переноса вещества целиком вместе с фронтом.

Частицы среды колеблются около равновесия, а возмущение распространяется.

Продольные и поперечные

продольная: колебания вдоль направления распространения;
поперечная: колебания перпендикулярно.

В жидкостях и газах объёмные звуковые волны обычно продольные. Поперечные механические волны требуют сопротивления сдвигу и распространяются в твёрдых телах и натянутых струнах.

Гармоническая бегущая волна

В направлении $$+x$$ :

y(x,t)=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0).

В направлении $$-x$$ знак перед $$kx$$ меняется.

k=\frac{2\pi}{\lambda},

\omega=2\pi f,

v=\frac\omega k=\lambda f.

Частота задаётся источником. Скорость определяется средой. Длина волны следует из $\lambda=v/f$ .

Фаза

Разность фаз двух точек в один момент:

\Delta\varphi=k\Delta x=\frac{2\pi\Delta x}{\lambda}.

Две точки колеблются в фазе, если расстояние кратно $\lambda$ .

В противофазе — если нечётное число $\lambda/2$ .

Скорость волн

На струне:

v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},

где $$T$$ — натяжение, $\mu$ — линейная плотность.

Продольная волна в стержне:

v\approx\sqrt{\frac E\rho}.

Звук в жидкости:

v=\sqrt{\frac K\rho},

где $$K$$ — модуль объёмной упругости.

Суперпозиция

В линейной среде смещения складываются:

\[ y=y_1+y_2. \]

Отсюда интерференция.

Стоячая волна

Сумма двух встречных одинаковых волн:

y=2A\cos kx\cos\omega t.

Узлы:

\cos kx=0.

Пучности — максимальная амплитуда.

Стоячая волна не переносит среднюю энергию в одном направлении как бегущая.

Струна с закреплёнными концами

На концах узлы:

L=n\frac\lambda2.

f_n=\frac{nv}{2L},\qquad n=1,2,3,\ldots

Открытая и закрытая трубы

Открытый конец — пучность смещения и узел давления.

Закрытый конец — узел смещения и пучность давления.

Труба, закрытая с одного конца:

f_n=\frac{(2n-1)v}{4L}.

Только нечётные гармоники в идеальной модели.

Интенсивность

I=\frac PS.

Для сферической волны без поглощения:

I=\frac P{4\pi r^2}.

Амплитуда при этом примерно убывает как $$1/r$$ .

Групповая и фазовая скорости

Фазовая:

v_{ph}=\frac\omega k.

Групповая:

v_g=\frac{d\omega}{dk}.

В диспергирующей среде они различаются. Групповая скорость часто связана с распространением огибающей и информации, но требует аккуратности в поглощающих средах.

Пример 1. Длина волны

$$v=340$$ м/с, $$f=680$$ Гц:

\lambda=0{,}5\ \text{м}.

Пример 2. Струна

$$L=0{,}65$$ м, $$v=260$$ м/с:

f_1=\frac{260}{1{,}3}=200\ \text{Гц}.

Пример 3. Переход в другую среду

Частота сохраняется, скорость меняется, поэтому

\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{v_2}{v_1}.

Ошибки

Считать, что вещество переносится вместе с волной.
Менять частоту при переходе границы.
Путать скорость частиц и скорость волны.
Считать узел стоячей волны неподвижной частицей вещества навсегда при нелинейных или меняющихся условиях.

Самопроверка

Что задаёт частоту волны?
Как связаны точки на расстоянии $\lambda/2$ ?
Что различает бегущую и стоячую волну по переносу энергии?

Ответы

1. Источник. 2. Колеблются в противофазе. 3. Бегущая переносит среднюю энергию, идеальная стоячая не имеет чистого потока.